Доказать: 16sin20sin40sin60sin80=3

Применены формулы преобразования произведения в сумму

Для доказательства данного утверждения, мы воспользуемся значением синуса суммы углов и некоторыми свойствами тригонометрии.

Шаг 1: Выразим синусы углов через синус и косинус двойного угла.
У нас есть следующие формулы:
sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
cos(2α) = cos²(α) - sin²(α)
Известно, что:
sin(60) = √3/2
cos(60) = 1/2 (это можно найти на тригонометрической окружности или вспомнить значения тригонометрических функций для специальных углов)
sin(40) = sin(60 - 20)
cos(20) = cos(2*10)
cos(10) = 1 - 2sin²(5) (эту формулу можно найти с помощью формулы для cos(2α))

Шаг 2: Подставим значения синусов углов в выражение.
16sin20sin40sin60sin80 = 16sin(20)sin(40)sin(60)sin(80)
= 16*sin(20)*(sin(40 - 20))sin(60)sin(80)
= 16*sin(20)*sin(40)sin(60)sin(80)
= 16*sin(20)*sin(60)*(sin(80 - 60))sin(80)
= 16*sin(20)*sin(60)*sin(80)*sin(80)
= 16*sin(20)*(√3/2)*((1/2)^2 - sin²(40))sin(80)
= 16*sin(20)*(√3/2)*(1/4 - sin²(40))sin(80)

Шаг 3: Заменим sin²(40) и упростим выражение.
Из формулы sin(2α) = 2sin(α)cos(α) получаем, что sin²(α) = (1 - cos(2α))/2.
Тогда, sin²(40) = (1 - cos(80))/2.
Мы заменим sin²(40) в выражении:

16*sin(20)*(√3/2)*(1/4 - sin²(40))sin(80)
= 16*sin(20)*(√3/2)*(1/4 - (1 - cos(80))/2)sin(80)
= 16*sin(20)*(√3/2)*(1/4 - (1 - cos(80))/2)*sin(80)
= 16*sin(20)*(√3/2)*(1/4 - 1/2 + cos(80)/2)*sin(80)
= 16*sin(20)*(√3/2)*(-3/4 + cos(80)/2)*sin(80)
= -12*sin(20)*(√3/4)*sin(80)*cos(80) + 8*sin(20)*(√3/2)*sin²(80)
= -12*sin(20)*√3/4*sin(80)*cos(80) + 8*sin(20)*√3/2*sin²(80)

Шаг 4: Используем формулу sin(2α) = 2sin(α)cos(α) и упростим выражение.
sin(80) = sin(2*40) = 2*sin(40)*cos(40)
sin²(80) = (2*sin(40)*cos(40))^2 = 4*sin²(40)*cos²(40)
Мы заменим sin(80) и sin²(80) в выражении:

-12*sin(20)*√3/4*(2*sin(40)*cos(40))*cos(80) + 8*sin(20)*√3/2*(4*sin²(40)*cos²(40))
= -12*sin(20)*√3/4*2*sin(40)*cos(40)*cos(80) + 8*sin(20)*√3/2*4*sin²(40)*cos²(40)
= -24*sin(20)*√3/4*sin(40)*cos(40)*cos(80) + 32*sin(20)*√3/2*sin²(40)*cos²(40)
= -24*sin(20)*√3/4*sin(40)cos(40)*cos(80) + 32*sin(20)*√3/2*sin^(40)*cos(40)*cos²(40)
(используем свойство sin²(α) = 1 - cos²(α))

Шаг 6: Используем формулу sin(2α) = 2sin(α)cos(α) и упростим выражение.
sin(40) = sin(2*20) = 2*sin(20)*cos(20)
sin²(40) = (2*sin(20)*cos(20))^2 = 4*sin²(20)*cos²(20)
Мы заменим sin(40) и sin²(40) в выражении:

-24*sin(20)*√3/4*2*sin(20)*cos(20)*cos(80) + 32*sin(20)*√3/2*4*sin²(20)*cos²(20)
= -48*sin(20)*√3/4*sin(20)*cos(20)*cos(80) + 128*sin(20)*√3/2*sin²(20)*cos²(20)
= -48*sin²(20)*√3/4*cos(80) + 128*sin(20)*√3/2*sin²(20)*cos²(20)
= -12*sin²(20)*√3*cos(80) + 32*sin²(20)*√3*sin²(20)*cos²(20)

Шаг 7: Используем формулу sin²(α) + cos²(α) = 1 и упростим выражение.
sin²(20) + cos²(20) = 1
sin²(20) = 1 - cos²(20)
Мы заменим sin²(20) в выражении:

-12*(1 - cos²(20))√3*cos(80) + 32*(1 - cos²(20))*√3*(1 - cos²(20))*cos²(20)
Упростив данное выражение, получим:

-12√3*cos(80) + 12√3*cos²(20) - 32√3*cos(80)*cos²(20) + 32√3*cos²(20) - 32√3*cos⁴(20)
= -12√3*cos(80) + 12√3*cos²(20) - 32√3*cos(80)*cos²(20) + 32√3*cos²(20) - 32√3*cos⁴(20)

Шаг 8: Подставляем известные значения cos(80) и cos²(20) и упростим выражение.
cos(80) = cos(2*40) = 2*cos²(40) - 1 = 2*(1 - sin²(40)) - 1 = 2 - 2sin²(40) - 1 = 1 - 2sin²(40)
cos²(20) = (1 + cos(40))/2
Мы заменим cos(80) и cos²(20) в выражении:

-12√3*(1 - 2sin²(40)) + 12√3*(1 + cos(40))/2 - 32√3*(1 - 2sin²(40))*(1 + cos(40))/2 + 32√3*(1 + cos(40))/2 - 32√3*cos⁴(20)
= -12√3 + 24√3*sin²(40) + 6√3 + 6√3*cos(40) - 16√3*sin²(40)*(1 + cos(40)) + 16√3*sin²(40) + 16√3*cos(40) + 16√3*cos²(40) - 32√3*cos²(20)
= 12√3*sin²(40) + 12√3*cos(40) - 16√3*sin²(40)*(1 + cos(40)) + 32√3*sin²(40) + 16√3*cos(40) - 32√3*cos²(20)
= 12√3*(sin²(40) + cos(40)) - 16√3*sin²(40)*(1 + cos(40)) + 32√3*sin²(40) + 16√3*cos(40) - 32√3*cos²(20)

Шаг 9: Упростим выражение, используя выражение для sin²(40) и некоторые свойства тригонометрии.
sin(40) = sin(60 - 20)
sin(60) = √3/2
cos²(20) = 1 - sin²(40)
Мы заменим sin(40), sin(60), и cos²(20) в выражении:

12√3*((sin(60 - 20))^2 + cos(60 - 20)) - 16√3*sin²(20)*(1 + cos(2*20)) + 32√3*sin²(20) + 16√3*cos(2*20) - 32√3*(1 - sin²(40))
= 12√3*((sin(60)*cos(20) - cos(60)*sin(20))^2 + cos(60)*cos(20) + sin(60)*sin(20)) - 16√3*sin²(20)*(1 + cos(40)) + 32√3*sin²(20) + 16√3*cos(40) - 32√3*(1 - sin²(40))
= 12√3*(((√3/2)*cos(20) - (1/2)*sin(20))^2 + (√3/2)*cos(20) + (1/2)*sin(20)) - 16√3*sin²(20)*(1 + cos(40)) + 32√3*sin²(20) + 16√3*cos(40) - 32√3*(1 - sin²(40))

Шаг 10: Упростим выражение и приведем подобные слагаемые.
Выполняя алгебраические операции, мы получаем:

12√3*(((3*cos²(20) - √3*cos(20)*sin(20) - √3*cos(20)*sin(20) + sin²(20)) + (√3/2)*cos(20) + (1/2)*sin(20))) - 16√3*(sin²(20) + sin²(20)*cos(40)) + 32√3*sin²(20) + 16√3*cos(40) - 32√3 + 32√3*sin²(40)
= 12√3*(3*cos²(20) - 2√3*cos(20)*sin(20) + sin²(20) + (√3/2)*cos(20) + (1/2)*sin(20))) - 16√3*(2*sin²(20) + sin²(20)*cos(40)) + 32√3*sin²(20) + 16√3*cos(40) - 32√3 + 32√3*sin²(40)
= 36√3*cos²(20) - 24√3*cos(20)*sin(20) + 12√3*sin²(20) + 6√3*cos(20) + 3√3*sin(20) - 32√3*sin²(20) - 16√3*sin²(20)*cos(40) + 32√3*sin²(20) + 16√3*cos(40) - 32√3 + 32√3*sin²(40)
= 36√3*cos²(20) - 32√3*sin²(20) - 16√3*sin²(20)*cos(40) + 32√3*sin²(20) - 16√3 + 6√3*cos(20) + 16√3*cos(40) + 3√3*sin(20) + 32√3*sin²(40) - 24√3*cos(20)*sin(20)

Шаг 11: Упростим выражение.
Выполняя алгебраические операции, мы получаем:

36√3 -13√3*sin²(20)*cos(40) + 76√3*sin²(20) + 6√3*cos(20) + 16√3*cos(40) + 3√3*sin(20) + 32√3*sin²(40) - 24√3*cos(20)*sin(20)
= 36√3 + (√3*sin(20))*(16cos(40) + 3sin(20) - 24cos(20)*sin(20)) + 33√3*sin²(20) + 6√3*cos(20)
= 36√3 + √3*sin(20)*(16cos(40) + 3sin(20) - 24cos(20)*sin(20)) + 33√3*sin²(20) + 6√3*cos(20)

Шаг 12: Выполним расчет для конкретного значения угла 20 и получим ответ.
Подставим требуемое значение угла и выполним вычисления:

= 36√3 + √3*sin(20)*(16cos(40) + 3sin(20) - 24cos(20)*sin(20)) + 33√3*sin²(20) + 6√3*cos(20)
= 36√3 + √3*sin(20)*(16*(1 - 2sin²(20)) + 3sin(20) - 24*(1 - sin²(20))*sin(20)) + 33√3*sin²(20) + 6√3*cos(20)

Подставим sin(20) = x:

= 36√3 + √3*x*(16*(1 - 2x²) + 3x - 24*(1 - x²)*x) + 33√3*x² + 6√3*cos(20)

При x = sin(20), получаем:

= 36√3 + √3*sin(20)*(16*(1 - 2sin²(20)) + 3sin(20) - 24*(1 - sin²(20))*sin(20)) + 33√3*sin²(20) + 6√3*cos(20)
= 36√3 + √3*sin(20)*(16*(1 - 2sin²(20)) + 3sin(20) - 24*(1 - sin²(20))*sin(20)) + 33√3*sin²(20) + 6√3*cos(20)
= 36√3 + √3*sin(20)*(16 - 32sin²(20) + 3sin(20) - 24 + 24sin²(20)) + 33√3*sin²(20) + 6√3*cos(20)
= 36√3 + √3*sin(20)*(3sin(20) + 24sin²(20)) + 33√3*sin²(20) + 6√3*cos(20)
= 36√3 + √3*sin(20)*3sin(20) + √3*sin(20)*24sin²(20) + 33√3*sin²(20) + 6√3*cos(20)
= 36√3 + 3√3*sin²(20) + 24√3*sin³(20) + 33√3*sin²(20) + 6√3*cos(20)
= 36√3 + 36√3*sin²(20) + 24√3*sin³(20) + 6√3*cos(20)
= 36√3*(1 + sin²(20)) + 24√3*sin³(20) + 6√3*cos(20)
= 36√3*(1 + cos²(70)) + 24√3*sin³(20) + 6√3*cos(20) (использ