В треугольник, длины сторон которого относятся как m : n : p, вписан круг. Найти отношение, в котором каждая точка касания делит
соответствующую сторону треугольника.

Пошаговое объяснение:

Введём следующие обозначения. Обозначим вершины треугольника как A, B, C, причём AB : BC : AC = m : n : p. Обозначим точки касания с AB как M, с BC — N, AC — P, отрезки касательных AM = AP = x, BM = BN = y, CN = CP = z (отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны).

Из отношения AB : BC : AC = m : n : p следует, что AB = mk, BC = nk, AC = pk. Тогда получаем

Вычтем из третьего уравнения второе и запишем его в системе с первым:

Подставим найденный x в третье уравнение и выразим z: .

Тогда искомые отношения: