решить задачи по математике.
1. Написать первые четыре члена последовательности |x_{n}| , если:
1) x_{n}=2x^{n+1}
2) x_{1}=2, x_{n}=|x_{n-1}-2|
3) x_{n}=(-1)^{n}+1
4) x_{n} - n-ый знак в десятичной записи числа \frac{2}{7}
2. Зная несколько первых элементов числовой последовательности |x_{n}| , написать формулу его общего члена:
1) 2, 5, 10, 17, 26,...
2) -1, 1, -1, 1, -1,...
3) \frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8}, \frac{1}{11},...
3. Найти последовательности α·x_{n}+β·y_{n} , если:
1) x_{n}=n, y_{n}=3·n, α=2, β=-1
2) x_{n}=(\sqrt{2})^{n}, y_{n}=1·n, α=\sqrt{2}, β=-5

Добрый день! Для начала давайте разберемся с первыми четырьмя членами последовательности |x_{n}| для каждой из задач.

1) В первой задаче имеем формулу x_{n}=2x^{n+1}, где x_{1}=2. Для нахождения первых четырех членов последовательности, мы должны последовательно подставить n=1,2,3,4 в формулу. Таким образом:

При n=1:
x_{1}=2x^{1+1}=2x^2=2 \cdot 2^2=2 \cdot 4=8

При n=2:
x_{2}=2x^{2+1}=2x^3=2 \cdot 2^3=2 \cdot 8=16

При n=3:
x_{3}=2x^{3+1}=2x^4=2 \cdot 2^4=2 \cdot 16=32

При n=4:
x_{4}=2x^{4+1}=2x^5=2 \cdot 2^5=2 \cdot 32=64

Таким образом, первые четыре члена последовательности |x_{n}| будут: 8, 16, 32, 64.

2) Во второй задаче имеем формулу x_{n}=|x_{n-1}-2|, где x_{1}=2. Чтобы найти первые четыре члена последовательности, необходимо последовательно подставить n=1,2,3,4 в формулу. Таким образом:

При n=1:
x_{1}=|x_{1-1}-2|=|x_{0}-2|=|2-2|=|0|=0

При n=2:
x_{2}=|x_{2-1}-2|=|x_{1}-2|=|0-2|=|-2|=2

При n=3:
x_{3}=|x_{3-1}-2|=|x_{2}-2|=|2-2|=|0|=0

При n=4:
x_{4}=|x_{4-1}-2|=|x_{3}-2|=|0-2|=|-2|=2

Таким образом, первые четыре члена последовательности |x_{n}| будут: 0, 2, 0, 2.

3) В третьей задаче имеем формулу x_{n}=(-1)^{n}+1. Для нахождения первых четырех членов последовательности, мы должны последовательно подставить n=1,2,3,4 в формулу. Таким образом:

При n=1:
x_{1}=(-1)^{1}+1=-1+1=0

При n=2:
x_{2}=(-1)^{2}+1=1+1=2

При n=3:
x_{3}=(-1)^{3}+1=-1+1=0

При n=4:
x_{4}=(-1)^{4}+1=1+1=2

Таким образом, первые четыре члена последовательности |x_{n}| будут: 0, 2, 0, 2.

4) В четвертой задаче необходимо найти n-ый знак в десятичной записи числа \frac{2}{7}. Давайте разберемся, как это сделать:

Для начала, приведем число \frac{2}{7} к десятичной форме. Для этого делим числитель на знаменатель, получаем: \frac{2}{7}=0.2857142857...

Теперь, чтобы найти n-ый знак в десятичной записи, мы должны разделить численно последовательность цифр на блоки по 6 цифр и определить, в каком блоке будет находиться искомая цифра. Зная номер блока и позицию искомой цифры в блоке, мы можем найти ответ.

Для случая \frac{2}{7}:

Первый блок: 285714
Второй блок: 285714
Третий блок: 285714
...

Таким образом, видно, что каждые 6 цифр повторяются. Поэтому n-ый знак в десятичной записи числа \frac{2}{7} будет таким же, как (n-1)\mod 6-ый знак.

При n=1:
x_{1}=1-ый знак: 0

При n=2:
x_{2}=2-ой знак: 2

При n=3:
x_{3}=3-ий знак: 8

При n=4:
x_{4}=4-ый знак: 5

Таким образом, первые четыре члена последовательности x_{n} будут: 0, 2, 8, 5.

Теперь давайте перейдем ко второй части вашего вопроса и найдем формулы общих членов для каждой из последовательностей.

1) Для первой последовательности: 2, 5, 10, 17, 26,...

Для нахождения формулы общего члена заметим следующее:
Разность между соседними членами составляет 3, 5, 7, 9,...

То есть, каждый следующий член получается путем увеличения предыдущего на 2 больше парного числа.

Тогда формула общего члена будет:
x_{n}=2 + 2(1+2+3+...+(n-1))

Здесь (1+2+3+...+(n-1)) - это сумма первых (n-1) натуральных чисел, и ее можно выразить формулой: \frac{(n-1)n}{2}

Подставим это в формулу общего члена:

x_{n}=2 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2}=2 + n(n-1)=n^2 - n + 2

Таким образом, формула общего члена для данной последовательности будет x_{n}=n^2 - n + 2.

2) Для второй последовательности: -1, 1, -1, 1, -1,...

Чтобы найти формулу общего члена, заметим, что каждый четный член равен 1, а каждый нечетный член равен -1.

То есть, можно записать формулу общего члена следующим образом:

x_{n}=(-1)^{n+1}

Таким образом, формула общего члена для данной последовательности будет x_{n}=(-1)^{n+1}.

3) Для третьей последовательности: \frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8}, \frac{1}{11},...

Чтобы найти формулу общего члена, заметим, что каждый член равен \frac{1}{3n-1}.

То есть, формула общего члена будет:

x_{n}=\frac{1}{3n-1}

Таким образом, формула общего члена для данной последовательности будет x_{n}=\frac{1}{3n-1}.

Перейдем теперь к третьему пункту вашего вопроса и найдем последовательности α·x_{n}+β·y_{n}.

1) Для первой последовательности: x_{n}=n, y_{n}=3·n, α=2, β=-1.

Мы должны найти последовательность α·x_{n}+β·y_{n}. Подставим значения x_{n}, y_{n}, α и β в формулу:

α·x_{n}+β·y_{n}=2·n+(-1)·3·n=n-3·n=-2·n

Таким образом, получаем, что последовательность α·x_{n}+β·y_{n} будет равна -2·n.

2) Для второй последовательности: x_{n}=(\sqrt{2})^{n}, y_{n}=1·n, α=\sqrt{2}, β=-5.

Аналогично, мы должны найти последовательность α·x_{n}+β·y_{n}. Подставим значения x_{n}, y_{n}, α и β в формулу:

α·x_{n}+β·y_{n}=\sqrt{2}·(\sqrt{2})^{n}+(-5)·n=2^{1/2}·2^{n}+(-5)·n

Чтобы сделать более удобным выражение, приведем его к одной степени 2:

α·x_{n}+β·y_{n}=2^{1/2+n}+(-5)·n=2^{1/2}·2^{n}+(-5)·n=2^{(n+1/2)}-5·n

Таким образом, последовательность α·x_{n}+β·y_{n} будет равна 2^{(n+1/2)}-5·n.