Найдите производную dy/dx данной функции.
$y = \sqrt{x ^{2} } + 1 + \sqrt[3]{x ^{3} } + 1$

Ответы

ianezlo 08.01.2024 11:02

Чтобы найти производную функции, мы должны применить правила дифференцирования для каждого слагаемого функции и сложить полученные производные.

Давайте разобьем функцию на отдельные слагаемые и найдем производные каждого из них.

1. Слагаемое $\sqrt{x ^{2} }$
Для нахождения производной этого слагаемого мы используем правило дифференцирования для корня. Правило гласит: производная квадратного корня от функции равна производной функции, деленной на удвоенный корень из этой функции. Применяя это правило, мы получаем:
$\frac{d}{dx}(\sqrt{x ^{2} }) = \frac{1}{2\sqrt{x ^{2} }} \cdot \frac{d}{dx}(x ^{2}) = \frac{1}{2\sqrt{x ^{2} }} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x ^{2} }} = \frac{x}{|x|}$

2. Слагаемое 1
Так как 1 является постоянной, производная постоянной равна нулю. Следовательно, производная этого слагаемого равна 0.

3. Слагаемое $\sqrt[3]{x ^{3} }$
Для нахождения производной этого слагаемого мы сначала приводим его к эквивалентному виду с использованием степени:
$\sqrt[3]{x ^{3} } = (x ^{3} )^{\frac{1}{3}} = x ^{\frac{3}{3}} = x$
Теперь мы можем легко найти производную:
$\frac{d}{dx}( \sqrt[3]{x ^{3} } ) = \frac{d}{dx}(x) = 1$

4. Слагаемое 1
Так как 1 является постоянной, производная постоянной равна нулю. Следовательно, производная этого слагаемого равна 0.

Теперь, когда мы нашли производные для каждого слагаемого, давайте сложим их, чтобы получить общую производную:

$\frac{d}{dx}(y) = \frac{x}{|x|} + 0 + 1 + 0 = \frac{x}{|x|} + 1$

Таким образом, производная функции $y = \sqrt{x ^{2} } + 1 + \sqrt[3]{x ^{3} } + 1$ равна $\frac{x}{|x|} + 1$ .