На множестве X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11; 12} задано отношение «иметь одно и то же число делителей». Является ли оно отношением эквивалентности?

Добрый день! Рад стать для вас школьным учителем и помочь разобраться с данным вопросом.

Чтобы определить, является ли данное отношение эквивалентностью, нужно проверить выполнение трех условий: рефлексивности, симметричности и транзитивности.

1. Рефлексивность:
Отношение называется рефлексивным, если каждый элемент множества X имеет отношение с самим собой. В данном случае, каждое число из множества X имеет само на себя столько же делителей. Например, число 1 имеет только один делитель - само себя. А число 2 имеет два делителя: 1 и 2. То есть, для любого числа n из множества X, оно имеет n делителей (потому что они совпадают с самими делителями числа n). Таким образом, отношение "иметь одно и то же число делителей" является рефлексивным.

2. Симметричность:
Отношение называется симметричным, если для любых элементов a и b из множества X, если a находится в отношении с b, то b находится в отношении с a. В данном случае, нужно проверить, что если число a имеет столько же делителей, сколько число b, то число b имеет столько же делителей, сколько число a. Опять же, это верно, потому что делители числа a также являются делителями числа b и наоборот. Например, пусть a = 4 и b = 8. Оба числа имеют делители: для 4 это 1, 2 и 4, а для 8 это 1, 2, 4 и 8. Видим, что число делителей одинаковое. Таким образом, отношение "иметь одно и то же число делителей" является симметричным.

3. Транзитивность:
Отношение называется транзитивным, если для любых элементов a, b и c из множества X, если a находится в отношении с b и b находится в отношении с c, то a находится в отношении с c. В данном случае, нужно проверить, что если число a имеет столько же делителей, сколько число b, и число b имеет столько же делителей, сколько число c, то число a имеет столько же делителей, сколько число c. Опять же, это верно, так как делители числа a также являются делителями числа b, и делители числа b являются делителями числа c. Например, пусть a = 6, b = 9 и c = 12. Число делителей для каждого из этих чисел равно 4. Таким образом, отношение "иметь одно и то же число делителей" является транзитивным.

Исходя из всех проверок, мы видим, что отношение "иметь одно и то же число делителей" удовлетворяет всем трем условиям эквивалентности (рефлексивность, симметричность, транзитивность). Следовательно, оно является отношением эквивалентности.