На диаметре 2R полуокружности построен правильный треугольник, сторона которого равна диаметру. Треугольник расположен по ту же сторону от диаметра, что и полуокружность. Вычислить площадь той части треугольника, которая лежит вне круга.​

R^2*sqrt(3)/2- pi*R^2/6

Пошаговое объяснение:

Пусть дан треугольник АВС. Диаметр окружности ВС =2R.

Пусть стороны треугольника АС и АВ пересекаются с окружностью соответственно в точках К и D.

Соединим точки K и  D  отрезком, соединим также K и  D с центром окружности О.

Тогда площадь искомой фигуры- площадь треугольника AKD минус площадь малого сегмента , ограниченного хордой KD.

Найдем площадь треугольника АКD.   Sakd= Sabc-Scbdk     (1)

Sabc=(2R)^2*sqrt(3)/2/2= R^2*sqrt(3)    (2)

Заметим, что CBDK- равнобедренная трапеция с острыми углами при основании =60 градусов.

Заметим также, что поскольку ОС=ОК=R, а угол С=60 градусов, то треугольник ОСК - равносторонний с длиной стороны R.

То же самое можно сказать и о треугольнике ODB.

Тогда КС=BD=R. Проведем высоту трапеции CBDK и треугольника KOC КН.  КН= R*sin60=R*sqrt(3)/2,   a   CH=R/2 .

Тогда DK= 2*R-R/2-R/2=R

Тогда Scbdk= (BC+ DK)*KH/2= (2R+R)*R*sqrt(3)/2/2= 3R^2*sqrt(3)/4   (3)

Тогда , подставив в формулу (1)    формулы (2) и (3), получим

Sakd= R^2*sqrt(3)-  3R^2*sqrt(3)/4 =R^2*sqrt(3)/4                     (4)

Найдем теперь площадь малого сегмента ограниченного хордой KD Ssegm= S sekt kod- Sтреуг kod.

Найдем площадь малого сектора KOD.

Заметим , что угол KOD=60 град , так как КОС= DOB=60 град

Тогда S sekt kod= pi*R^2*60/360=pi*R^2/6                       (5)

Sтреуг kod= R^2*sqrt(3)/4   (6) ( Треугольник KOD- равносторонний с длиной стороны R)

Тогда Ssegm= S sekt kod- Sтреуг kod.= pi*R^2/6 -R^2*sqrt(3)/4 =

=R^2*(pi/6-sqrt(3)/4)    (7)

Тогда площадь искомой фигуры (4)- (7)

S= R^2*sqrt(3)/4- pi*R^2/6 +R^2*sqrt(3)/4 = R^2*sqrt(3)/2- pi*R^2/6