Из квадратного листа жести со стороной 12 м. надо изготовит бак с квадратным основание без крышки наибольшего объёма.Найдите размеры бака и его объём.

Чтобы найти наибольший объем квадратного бака, нам нужно найти оптимальные размеры его сторон. Для этого мы используем метод дифференциального исчисления.

Шаг 1: Определение переменных
Предположим, что сторона квадратного основания бака равна "x" метров, а высота бака равна "h" метров.

Шаг 2: Нахождение выражения для объема бака
Объем квадратного бака можно выразить как произведение площади основания на высоту:
V = x^2 ・ h

Шаг 3: Нахождение ограничений
Мы знаем, что рабочий материал — квадратный лист жести со стороной 12 метров. Это ограничение означает, что площадь боковой поверхности бака должна быть меньше или равна площади листа.

Шаг 4: Выражение площади боковой поверхности
Площадь боковой поверхности квадратного бака можно выразить как произведение периметра основания на высоту. Так как наше основание — квадрат, периметр равен 4 умножить на сторону квадрата:
S = 4x ・ h

Шаг 5: Запись ограничения
Ограничение связывает площадь боковой поверхности с площадью листа жести:
4x ・ h ≤ 12^2

Шаг 6: Упрощение ограничения
Для упрощения ограничения выполним вычисления:
4x ・ h ≤ 144

Шаг 7: Выразим h через x
Ограничение в форме неравенства может быть упрощено, если выразить h через x:
h ≤ (144 / 4x)
h ≤ 36/x

Шаг 8: Подставляем выражение h в выражение для объема бака
Теперь мы можем заменить h в выражении для объема бака и получить новое выражение V:
V = x^2 ・ h
V = x^2 ・ (36/x)
V = 36x

Шаг 9: Находим максимум V
Мы хотим найти максимальное значение V, поэтому возьмем производную от V по x и найдем ее нулевые точки:
dV/dx = 36 - 0
36 = 0
x = 0

Шаг 10: Проверяем значения x
Максимум объема должен быть достигнут при положительном значении x. Изначальное ограничение говорит нам, что x не может быть больше 12 метров, т.к. это сторона квадратного листа жести.

Таким образом, наибольший объем бака получается, когда x = 12 метров.

Шаг 11: Находим h и V
Теперь, когда мы знаем значение x, можем подставить его в выражение для h и V:
h = 36/x
h = 36/12
h = 3 метра

V = 36x
V = 36 ・ 12
V = 432 м³

Таким образом, размеры бака равны: сторона основания - 12 м, высота - 3 м, а его объем составляет 432 м³.