5. докажите, что если две стороны и биссектриса, проведённая из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам и биссектрисе, проведённой из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть в треугольниках АВС и А1В1С1 с биссектрисами АД и А1Д1 выполнены равенства: АВ/А1В1=АС/А1С1=АД/А1Д1. Докажем, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны. Рассмотрим треугольник А2В2С2 с биссектрисой А2Д2, у которого ∠А2=∠А, ∠В2=В, А2С2=А1С1. Треугольники А2В2С2 и АВС подобны по двум углам, поэтому АВ/А2В2=АС/А1С1=АД/А2Д2 (поскольку А2С2=А1С1). Сопоставляя эти равенства с предыдущими, получим А1В1=А2В2, А1Д1=А2Д2. Т.к. кроме того и А1С1=А2С2, то треугольники А1В1С1 и А2В2С2 равны по двум сторонам и биссектрисе, проведенным из одной вершины. Но треугольник А2В2С2 подобен АВС, тогда и треугольник А1В1С1 подобен АВС, что и требовалось доказать.