Вправильной четырехугольной пирамиде найдите сторону основания, если боковое ребро равно 5, а полная поверхность - 16.

Пусть АВ=ВС= CD = AD = x, a SM = у — апофема.

Тогда по теореме Пифагора в ∆SMC;

SC2 =SM2 + MC2,

5^2=y^2+x^2/4

то есть х2 + 4у2 = 100.

Полная поверхность равна S = Sосн + Sбок , где Sосн — площадь

квадрата,

Sбок=1/2*P*h

то есть Sосн = х2 и  

где P — периметр основания и h — апофема, так что Sбок = 2ху.

Так что х2 + 2ху = 16. Имеем:

x^2+4y^2=100

x^2+2xy=16

y=16-x^2/2x

x^2+4(16-x^2/2x)^2=100 то есть

x4 - 100х2 + (16-х2)2 = 0

х4 - 66х2 + 128 = 0. Пусть х2 = а, тогда

а2 - 66а + 128 =0, а =2 или а = 64. Тогда х = √2 или x = 8.

Но при х = 8 площадь основания больше полной.

Так что х= √2 .

ответ: √2 см.

Объяснение: