В треугольнике АВС точка М лежит на стороне АВ, причем ∠АМС- острый. Докажите, что СВ>СМ ​

Хорошо, давайте разберемся с этим вопросом.

Обозначим длину стороны AB как a, стороны BC как b и стороны CA как c. Также обозначим длины отрезков AM и MC как x и y соответственно.

Перед тем, как начать доказательство, давайте вспомним одно очень важное свойство треугольника - неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. То есть для нашего треугольника ABC это будет выглядеть следующим образом:

AC + BC > AB
c + b > a

Теперь обратимся к нашей задаче. У нас есть треугольник ABC, в котором точка М лежит на стороне AB. Нам нужно доказать, что СВ > СМ.

Чтобы это сделать, давайте рассмотрим треугольник AMC. В этом треугольнике у нас есть две стороны - AM и AC, а также угол МАС (на самом деле это ∠МАС, но я думаю, что ты понимаешь, что я имею в виду).

Мы знаем, что ∠АМС - острый (это в условии вопроса). Поскольку это острый угол, синус этого угла будет положительным числом. Давайте обозначим синус угла ∠АМС как sin(∠АМС).

Теперь давайте применим формулу для вычисления синуса угла в прямоугольном треугольнике:

sin(∠АМС) = противолежащая сторона / гипотенуза

В нашем случае противолежащая сторона - это сторона СМ, а гипотенуза - это сторона АС. Таким образом, мы можем записать:

sin(∠АМС) = СМ / AC

Переставим это равенство, чтобы получить:

СМ = AC * sin(∠АМС)

Теперь давайте заменим AC в этом выражении с использованием неравенства треугольника. Мы знаем, что AC + BC > AB, поэтому можем выразить AC:

AC > AB - BC

Подставим это в наше предыдущее выражение:

СМ = (AB - BC) * sin(∠АМС)

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC снова. Зная неравенство треугольника (c + b > a), мы также можем выразить AB:

AB > BC - AC

Теперь мы можем заменить AB в нашем предыдущем выражении:

СМ = ((BC - AC) - BC) * sin(∠АМС)

Заметим, что слева от знака равенства у нас отрицательное число, потому что BC больше, чем AC. У нас также есть sin(∠АМС), который является положительным числом из-за острого угла.

Следовательно, мы можем утверждать, что СМ < 0.

Теперь давайте проанализируем неравенство треугольника снова:

AC + BC > AB
c + b > a

Заметим, что мы можем добавить BC к обеим сторонам этого неравенства:

AC + BC + BC > AB + BC
c + b + b > a + b

Теперь мы можем сократить BC на обеих сторонах неравенства:

AC + 2BC > AB + BC
c + 2b > a + b

А также поскольку М является промежуточной точкой на стороне AB, то у нас может быть следующее неравенство:

AC + CM > AM
c + y > x

Теперь объединим наши неравенства:

c + 2b > a + b
c + y > x

Мы можем объединить эти два неравенства, учитывая, что ∠АМС острый:

c + 2(b - y) > a + (b - y)

c + 2b - 2y > a + b - y

Теперь давайте преобразуем это неравенство немного:

c + b > a + y

Очевидно, что a + y больше или равно a, поскольку y - это длина отрезка AM, и это должно быть положительное число.

Таким образом, мы можем утверждать, что c + b > a + y, что в свою очередь означает, что СВ > СМ.

Вот и все!