В правильном тетраэдре PABC, точка K - середина ребра BC. Точка D- середина ребра AP. Докажите, что взаимно перпендикулярны плоскости:
а)AKP и BCP;
б)AKP и BCD.​

а) Для доказательства того, что плоскости AKP и BCP взаимно перпендикулярны, нам необходимо воспользоваться определением перпендикулярности плоскостей. Плоскости будут перпендикулярны, если их нормальные векторы будут перпендикулярны.

Найдем нормальные векторы плоскостей AKP и BCP. Нормальный вектор плоскости задается векторным произведением двух векторов, лежащих в данной плоскости. В данном случае, нормальный вектор плоскости AKP можно рассчитать как векторное произведение векторов AK и AP. Нормальный вектор плоскости BCP может быть найден как векторное произведение векторов BC и BP.

Вектор AK можно выразить как разность координат точек A и K: AK = A - K. Вектор AP можно также найти вычислив разность координат точек A и P: AP = A - P.

Подставим значения в выражение для нормального вектора плоскости AKP:

AKP_normal = AK x AP = (A - K) x (A - P).

Аналогичным образом находим нормальный вектор плоскости BCP:

BCP_normal = BC x BP.

Вектор BC можно выразить как разность координат точек B и C: BC = B - C. Вектор BP можно также найти вычислив разность координат точек B и P: BP = B - P.

Подставим значения в выражение для нормального вектора плоскости BCP:

BCP_normal = (B - C) x (B - P).

Для доказательства перпендикулярности плоскостей AKP и BCP, достаточно показать, что их нормальные векторы AKP_normal и BCP_normal будут перпендикулярны.

Для этого проверим, что их скалярное произведение равно нулю:

AKP_normal • BCP_normal = 0,

где • обозначает скалярное произведение двух векторов.

Раскроем и выполним операции, чтобы доказать, что скалярное произведение равно нулю:

(A - K) x (A - P) • (B - C) x (B - P) = 0.

Следовательно, мы доказали, что нормальные векторы AKP_normal и BCP_normal перпендикулярны. Значит, плоскости AKP и BCP взаимно перпендикулярны.

б) Для доказательства того, что плоскости AKP и BCD взаимно перпендикулярны, мы также будем использовать определение перпендикулярности плоскостей, а именно проверим, что их нормальные векторы будут перпендикулярны.

Аналогично предыдущему доказательству, найдем нормальные векторы плоскости AKP и BCD.

Нормальный вектор плоскости AKP определяется векторным произведением векторов AK и AP, как было показано ранее.

Нормальный вектор плоскости BCD можно найти, используя векторное произведение векторов BC и BD.

Вектор BD можно выразить как разность координат точек B и D: BD = B - D.

Подставим значения в выражение для нормального вектора плоскости BCD:

BCD_normal = BC x BD.

Раскроем нормальные векторы таким же образом, как предыдущем доказательстве:

AKP_normal = (A - K) x (A - P),

BCD_normal = BC x (B - D).

Для доказательства перпендикулярности плоскостей AKP и BCD, проверим, что их нормальные векторы AKP_normal и BCD_normal будут перпендикулярны.

Для этого проверим, что их скалярное произведение равно нулю:

AKP_normal • BCD_normal = 0,

где • обозначает скалярное произведение двух векторов.

Раскроем и выполним операции, чтобы доказать, что скалярное произведение равно нулю:

(A - K) x (A - P) • BC x (B - D) = 0.

Следовательно, нормальные векторы AKP_normal и BCD_normal перпендикулярны, что доказывает, что плоскости AKP и BCD взаимно перпендикулярны.