Докажите, что прямые, соединяющие вершину параллелограмма с серединами сторон, сходящихся в противоположной вершине, разбивают диагональ, соединяющую две другие вершины, на три равные части.

Действительно разбивают на три равные части.

Обозначим параллелограм АВСД, его середины сторон соответственно А1, В1, С1, Д1. Вершину  С соединяем с А1 и Д1,эти отрезки пересекут диагональ ВД в точках В2 и Д2. Проведём диагонаь АС и рассмотрим треугольники АСД и АСВ они равны, а отрезки СД1 и СА1 соответственно являются медианами своих треугольников, а точки В2 и Д2 точки пересечения медиан в соответствующих треугольниках. В равных треугольниках и точки пересечения мениан находятся соответственно на равных растояниях от соответствующих вершин. Тогда отрезок ДД2 равен ВВ2. Теперь нужно доказать, что ДД2 = Д2В2. Докажем. Соединим точку Д1 с А1, а вершину А с точкой В1 пересечение этих отрезков обозначим точку А2. Расмотрим треугольники ДД1Д2 и АА1А2  они равны признаков много (паралелность, углы смежные) значит ДД2=Д1А2. А Д1А2=Д2В2 так ка противоположные стороны параллелограма. Отсюда вывод диагональ разделена на три равные части.