Abcd - квадрат. на его сторонах ab, bc, cd и da выбраны точки m, n, p и k соотвецтвенно так, что am=bn=cp=dk. докажите, что четырёхугольник mnpk является квадратом.

Если АМ=BN, а АВ=ВС по условию, то и МВ=NC. Если от равных отнять равные то получатся равные. То же самое и с другими сторонами. В общем все треугольники равнобедренные и равны между собой  по двум катетам. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Против углов А, В, С, Д лежат стороны MN, NP, PK, MK.  Значит они равны, четырехугольник, как минимум параллелограмм или ромб. Теперь с углами. Во всех равнобедренных треугольниках углы при вершине равны 90. Значит на оставшиеся 2 равные угла приходится по 45 градусов.  А теперь рассмотрим Отрезок АМВ в точке М. Угол ВМN  равен 45, угол АМК равен 45, значит, на осташийся угол NMK приходится 90 градусов, т.к. 180-45-45=90. То же и с другими вершинами N,P,K. Получается  в MNPK все стороны равны и углы прямые, значит это квадрат, что и требовалось доказать. Удачи!