№4. Дана наклонная призма ABCA₁B₁C₁ в которой AA₁ - боковое ребро и ∠BAA₁ = ∠CAA₁ = 60°. Найдите угол между прямой CA₁ и плоскостью CBB₁ , если все рёбра призмы равны между собой.

Искомый угол равен 45°.

Объяснение:

Пусть все ребра  призмы равны 1.

В данной нам наклонной призме  боковые грани АА1С1С и АА1В1В ромбы с острым углом 60° (дано) и грань ВВ1С1С - ромб (все ребра призмы равны).

В ромбах АА1С1С и АА1В1В диагонали СА1 = АА1 и ВА1 = АА1 (как стороны равносторонних треугольников АА1С и АА1В соответственно).  =>

При равных наклонных  СА1, ВА1 В1А1 и С1А1 равны и их проекции:

ВР=РС1=СР=РВ1 =>  ромб ВВ1С1С с равными диагоналями - квадрат и точка А1 проецируется в центр квадрата - точку Р. =>

CР = √2/2 (как половина диагонали квадрата ВВ1С1С.

Тогда sinα = A1P/CA1 = √2/2.

α = 45°.

Или так:

В ромбах АА1С1С и АА1В1В диагонали СА1 = АА1 и ВА1 = АА1 (как стороны равносторонних треугольников АА1С и АА1В соответственно).  =>

При равных наклонных  АА1, А1С и А1В равны и их проекции =>

АО=ВО=СО (точка О - основание перпендикуляра А1О). => точка О - центр описанной окружности правильного треугольника АВС.

Проведем высоты АН и А1Н1 треугольников АВС и А1В1С1.

АН=А1Н1 = (√3/2)·а (по формуле). При а =1 (принято  нами) АН = А1Н1 =√3/2 ед.

АО = (2/3)·АН = √3/3 (по формуле) => В прямоугольном треугольнике А1АО косинус угла А1АО равен cosβ = AO/AA1 = √3/3.

В параллелограмме АА1Н1Н  ∠А1Н1Н = ∠А1АО = β, как противоположные углы.

=> Sinβ = √(1 - 3|9) = √6/3.

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.  =>

Опустим перпендикуляр А1Р из точки А1 на плоскость СВВ1С1.

В прямоугольном треугольнике А1РН1 катет

Sinβ = A1P/A1H1 =>

А1Р = А1Н1·Sinβ = (√3/2)·(√6/3) = 3√2/6 = √2/2.

В прямоугольном треугольнике А1РС  

Sinα = А1Р/А1С = (√2/2)/1 = √2/2.  =>

угол α = 45°.