13. От вершины С равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ отложены равные отрезки: СА1 на стороне СА и СВ1 на стороне СВ. Докажите равенство треугольников 1) САВ1 и СВА1; 2) АВВ1 и ВАА1 14. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС даны точки А1 и В1. Известно, что АВ1 = ВА1. Докажите, что треугольники АВ1С и ВА1С равны 15. Треугольники АСС1 и ВСС1 равны. Их вершины А и В лежат по разные стороны от прямой СС1. Докажите, что треугольники АВС и АВС1 равнобедренные 16. Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи № 12 17. На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки С1 и С2. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если треугольники АВС1 и ВАС2 равны 18. 1) Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника. 2) Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами

Добрый день! Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку.

13. Для доказательства равенства треугольников САВ1 и СВА1 мы можем воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника. Так как треугольник АВС является равнобедренным, то у него равны боковые стороны СА и СВ. Отложим равные отрезки СА1 и СВ1 от вершины С, соединим концы этих отрезков с основаниями А и В соответственно. Полученные отрезки СА1 и СВ1 также будут равны, так как мы их отложили от одной и той же точки С. Теперь рассмотрим треугольники САВ1 и СВА1. У них уже на данном этапе у нас совпадают стороны СА и СВ, а также сторона СА1 и СВ1, так как мы их отложили равными. Осталось проверить углы треугольников. Учитывая, что отложенные отрезки СА1 и СВ1 равны и отложены от одной и той же вершины, у нас имеем две равные базы треугольников САВ1 и СВА1. А значит, углы при вершинах А и В также будут равны. Поэтому мы можем заключить, что треугольники САВ1 и СВА1 равны.

14. В данной задаче нам дано, что отрезок АВ1 равен отрезку ВА1. Мы можем воспользоваться построением равнобедренного треугольника. Исходя из равенства отрезков, мы можем построить отрезок С1В1 равный отрезку С1А1. Так как треугольник АВС является равнобедренным, то у него равны боковые стороны АС и ВС. Отложим равные отрезки С1В1 и С1А1 от точки С, соединим полученные концы отрезков с вершиной А и В соответственно. Полученные отрезки С1А и С1В также будут равны, так как мы их отложили от одной и той же точки С1. Теперь рассмотрим треугольники АВ1С и ВА1С. У них уже на данном этапе у нас совпадают стороны ВС и СА, а также сторона С1А и С1В, так как мы их отложили равными. Осталось проверить углы треугольников. Учитывая, что отложенные отрезки С1А и С1В равны и отложены от одной и той же вершины, у нас имеем две равные базы треугольников АВ1С и ВА1С. А значит, углы при вершине C также будут равны. Поэтому мы можем заключить, что треугольники АВ1С и ВА1С равны.

15. Для доказательства равнобедренности треугольников АВС и АВС1 мы можем воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника. Отрезок СС1 является высотой равнобедренного треугольника АВС, поэтому он перпендикулярен основанию АВ и делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника АСС1 и ВСС1. Мы знаем, что треугольники АСС1 и ВСС1 равны, а значит, у них имеются равные прямые углы при основаниях. Так как данные треугольники являются равными, то и их боковые стороны будут равными. Следовательно, отрезки СС1 и СВ будут равными, так как они являются боковыми сторонами треугольников. Заметим, что треугольники АВС и АВС1 имеют равные боковые стороны ВС и СС1, а также равный отрезок СВ и СС1. Рассмотрим теперь углы треугольников. У нас уже есть две равные стороны ВС и СС1, значит углы при вершинах А и В также будут равны. Поэтому мы можем заключить, что треугольники АВС и АВС1 равнобедренные.

16. Для формулировки и доказательства обратной теоремы задачи № 12, давайте сначала вспомним саму теорему из задачи № 12. Утверждение задачи № 12 гласит: "Если в равнобедренном треугольнике провести прямую, параллельную основанию, и соединить точки пересечения этой прямой с боковыми сторонами треугольника, то полученный треугольник будет равнобедренным". Обратная теорема будет звучать следующим образом: "Если в треугольнике провести прямую, через вершину которая является вершиной прямоугольного угла, и соединить точки пересечения этой прямой с боковыми сторонами треугольника так, чтобы получился равнобедренный треугольник, то исходный треугольник будет равнобедренным".

Давайте докажем эту теорему. Пусть у нас есть треугольник АВС, в котором проведена прямая CD, проходящая через вершину C и прямой угол под которым она проходит. Пусть точки E и F - точки пересечения прямой CD с сторонами АВ и AC соответственно. Дано, что треугольник DEF - равнобедренный. Нам нужно доказать, что исходный треугольник АВС также является равнобедренным.

Для начала рассмотрим треугольник DEF. У него вершина D является вершиной прямого угла, а отрезок DE и DF являются боковыми сторонами равнобедренного треугольника DEF. Значит, у треугольника DEF углы при вершинах D, E и F также равны.

Теперь рассмотрим треугольник АВС. У него вершина C является вершиной прямого угла, а отрезки CE и CF являются боковыми сторонами. Нам нужно доказать, что у треугольника АВС углы при вершинах A, B и C также равны.

Заметим, что у треугольника DEF и треугольника АВС углы при вершинах D, E, F, A, B и C соответственно лежат на параллельных прямых. Но мы уже знаем, что углы при вершинах D, E и F равны. Значит, углы при вершинах A, B и C также равны.

Таким образом, мы доказали, что если в треугольнике провести прямую через вершину, которая является вершиной прямого угла, и соединить точки пересечения этой прямой с боковыми сторонами треугольника так, чтобы получился равнобедренный треугольник, то исходный треугольник будет равнобедренным.

17. Для доказательства равнобедренности треугольника АВС, если треугольники АВС1 и ВАС2 равны, мы можем воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника. Пусть точки С1 и С2 лежат на сторонах АС и ВС соответственно. Из данности задачи, мы знаем, что треугольники АВС1 и ВАС2 равны, а значит у них равны стороны ВС1 и С1A, а также стороны С2А и С2В. Так как треугольник АВС является равнобедренным, то у него равны боковые стороны СА и СВ. Заметим, что у треугольников АВС и АВС1 у нас совпадают боковые стороны СА и С1А, а также боковые стороны СВ и ВС1. А значит, углы при вершинах А и В также будут равны. Таким образом, мы можем заключить, что треугольник АВС равнобедренный.

18.
1) Доказательство того, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника, можно провести следующим образом. Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, у которого основание является стороной АВ, а вершины - С и D, соответственно. Точка M - середина стороны АВ. Проведем прямую MD. Так как M - середина стороны, то DM будет равна MB, так как это условие середины. Теперь рассмотрим треугольник MBD. У него сторонами являются равные отрезки DM и MB, а также сторона BD. Получается, что у треугольника MBD две равные боковых стороны DM и MB, а значит он является равнобедренным. Но так как DM и MB равны, то углы при вершине M будут равными. Таким образом, мы доказали, что треугольник MBD равнобедренный.

2) Доказательство того, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника, можно провести следующим образом. Пусть у нас есть равносторонний треугольник ABC. Tочка M - середина стороны АВ, точка N - середина стороны АС, точка P - середина стороны ВС. Так как треугольник ABC является равносторонним, то все его стороны равны. Значит, BM = MA, AN = NC и BP = PC. Рассмотрим треугольник MNP. У него уже на данном этапе у нас совпадают стороны MP, NP и МN, так как это середины сторон треугольника ABC. Осталось проверить углы треугольника MNP. Поскольку треугольник ABC является равносторонним, все углы его равны 60 градусов. Заметим, что треугольник MNP имеет две равных стороны MP и NP, а значит он является равносторонним, и его углы также равны 60 градусов. Таким образом, мы доказали, что треугольник MNP равносторонний.