·АВС серединный перпендикуляр MN к стороне АС равен её половине. Докажите, что АВ>МС

Для доказательства того, что АВ > МС, нам нужно разобраться в геометрической конструкции и использовать некоторые свойства и определения.

Дано:
- треугольник АВС
- М и N - середины сторон АС и АВ соответственно
- МN - серединный перпендикуляр к стороне АС, который равен ее половине (то есть MN = AC/2).

Теперь давайте рассмотрим некоторые факты:
1. Серединный перпендикуляр делит сторону на две равные части. Это означает, что АM = MC.
2. Серединный перпендикуляр является перпендикуляром к стороне АС. Это означает, что угол АМN прямой (90 градусов).
3. В прямоугольном треугольнике МАN у нас есть две равные стороны (AM = MN), что означает, что угол МАN также равен 90 градусам.
4. В треугольнике МСN у нас есть две равные стороны (МC = МN), что означает, что угол МSC также равен 90 градусам.

Основываясь на этих фактах, мы можем сделать следующие выводы:
- Угол АМN и угол МСN равны 90 градусам, поскольку они являются прямыми углами.
- Стороны МA и MN равны, поскольку они являются боковыми сторонами прямоугольного треугольника.
- Стороны МC и MN равны, поскольку они также являются боковыми сторонами прямоугольного треугольника.

Теперь можем сравнить стороны треугольника АВС:
- Сторона АВ - это сумма сторон АМ и МN (так как АМN и МСN являются малыми прямоугольными треугольниками). Известно, что АМ = МС (так как они равны как боковые стороны прямоугольных треугольников). Поэтому АВ = АМ + МN = МС + МN.
- Сторона МС - это сумма сторон МC и MN (так как МСN и АМN являются малыми прямоугольными треугольниками). Известно, что МC = МN (так как они равны как боковые стороны прямоугольных треугольников). Поэтому МС = МC + МN = МN + МN = 2МN.

Итак, у нас есть АВ = МС + МN и МС = 2МN.

Теперь давайте подставим это в неравенство АВ > МС и решим его:
АВ = МС + МN > МС + МN
2МN > МС + МN
МN > МС

Мы получили, что МN > МС.

Следовательно, мы доказали, что АВ > МС.