Прямая y=4x+6 является касательной к графику функции y=2x²+16x+c. Найдите c. Расписать МАКСИМАЛЬНО ПОДРОБНО!

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать знание о том, что касательная имеет одну общую точку с графиком функции. Это означает, что для нахождения этой точки, мы должны найти значения x и y, которые удовлетворяют обоим уравнениям.

Итак, у нас есть уравнения:

y = 4x + 6 (уравнение прямой)
y = 2x² + 16x + c (уравнение функции)

Мы знаем, что касательная имеет общую точку с графиком функции, поэтому значения x и y должны быть одинаковыми для обоих уравнений. Мы можем использовать это знание для нахождения c.

1. Найдем значение x, которое соответствует точке пересечения прямой и графика функции.

4x + 6 = 2x² + 16x + c (заменяем y в уравнении прямой на выражение y из уравнения функции)

0 = 2x² + 12x + c (-4x и -6 с обеих сторон уравнения)

2x² + 12x + c = 0 (переписываем уравнение в виде квадратного трехчлена)

2(x² + 6x) + c = 0 (факторизуем коэффициент 2)

2(x(x + 6) + c) = 0 (факторизуем выражение в скобках)

Таким образом, у нас есть уравнение x(x + 6) + c = 0. Из этого уравнения мы можем найти значения x, для которых оно равно нулю.

2. Решим уравнение x(x + 6) + c = 0.

x(x + 6) + c = 0 (раскрываем скобки)

x² + 6x + c = 0 (переписываем уравнение в стандартной форме)

Теперь, чтобы использовать информацию о том, что прямая является касательной, мы знаем, что уравнение x(x + 6) + c = 0 имеет только один корень. Когда у квадратного уравнения есть только один корень, это означает, что дискриминант равен нулю.

3. Найдем значение дискриминанта и используем его для нахождения c.

Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле D = b² - 4ac, где a, b и c - коэффициенты данного уравнения.

В нашем случае:
a = 1 (коэффициент при x²)
b = 6 (коэффициент при x)
c = c (изначально неизвестный коэффициент, который мы хотим найти)

D = (6)² - 4(1)(c) (подставляем значения a, b и c в формулу)

D = 36 - 4c (упрощаем выражение)

Мы знаем, что квадратное уравнение имеет один корень, когда дискриминант равен нулю. Поэтому мы можем приравнять D к нулю и решить уравнение:

0 = 36 - 4c (приравниваем D к нулю)

4c = 36 (переносим -4c на другую сторону уравнения)

c = 9 (делаем x коэффициентом)

Таким образом, найденное значение c равно 9. Подставляя это значение обратно в уравнение функции y = 2x² + 16x + c, мы можем получить полное уравнение функции.