Подробное решение.

4. найти наибольшее и наименьшее значение функции
f(x) =  x³-2x²+x+3 на отрезке [0: 3/2]
5. построить график функции
f(x) =  x³-2x²+x+3 на отрезке [-1: 2]
6. среди прямоугольников, сумма длин трёх сторон у которых равна 20, найти прямоугольник наибольшей площади.
​

Добрый день! Приступим к решению вашего вопроса.

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x³-2x²+x+3 на отрезке [0: 3/2]:

Для начала, найдем значения функции в крайних точках отрезка [0: 3/2]. Подставим первую границу отрезка, x = 0, в функцию:
f(0) = 0³ - 2(0)² + 0 + 3 = 0 + 0 + 0 + 3 = 3.

Теперь подставим вторую границу отрезка, x = 3/2:
f(3/2) = (3/2)³ - 2(3/2)² + 3/2 + 3 = 27/8 - 18/4 + 6/2 + 3 = 27/8 - 9/4 + 12/4 + 3 = 27/8 - 9/4 + 12/4 + 3 = 27/8 + 3/4 = 27/8 + 6/8 = 33/8.

Итак, наименьшее значение функции на отрезке [0: 3/2] равно 3, а наибольшее значение равно 33/8.

2. Построить график функции f(x) = x³-2x²+x+3 на отрезке [-1: 2]:

Для построения графика, нужно определить значения функции для нескольких значений x на отрезке [-1: 2]. Можно взять, например, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5 и 2.

Подставим эти значения в функцию и найдем соответствующие значения y:

x = -1:
f(-1) = (-1)³ - 2(-1)² + (-1) + 3 = -1 - 2 + (-1) + 3 = -1 - 2 - 1 + 3 = -1 - 2 - 1 + 3 = -3.

x = -0.5:
f(-0.5) = (-0.5)³ - 2(-0.5)² + (-0.5) + 3 = -0.125 - 2(0.25) - 0.5 + 3 = -0.125 - 0.5 - 0.5 + 3 = -1.125.

x = 0:
f(0) = 0³ - 2(0)² + 0 + 3 = 0 - 0 + 0 + 3 = 3.

x = 0.5:
f(0.5) = (0.5)³ - 2(0.5)² + 0.5 + 3 = 0.125 - 2(0.25) + 0.5 + 3 = 0.125 - 0.5 + 0.5 + 3 = 3.125.

x = 1:
f(1) = 1³ - 2(1)² + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3.

x = 1.5:
f(1.5) = (1.5)³ - 2(1.5)² + 1.5 + 3 = 3.375 - 2(2.25) + 1.5 + 3 = 3.375 - 4.5 + 1.5 + 3 = 3.375 - 4.5 + 1.5 + 3 = 3.375 - 4.5 + 1.5 + 3 = 3.375 - 4.5 + 1.5 + 3 = 4.875.

x = 2:
f(2) = 2³ - 2(2)² + 2 + 3 = 8 - 8 + 2 + 3 = 5.

Теперь, с использованием найденных значений, построим график функции с координатами (-1, -3), (-0.5, -1.125), (0, 3), (0.5, 3.125), (1, 3), (1.5, 4.875), (2, 5). Соединим эти точки гладкой непрерывной линией:

(График функции)

3. Среди прямоугольников, сумма длин трех сторон у которых равна 20, найти прямоугольник наибольшей площади:

Пусть стороны прямоугольника будут обозначены как x, y и z. Тогда условие "сумма длин трех сторон у которых равна 20" можно записать в виде уравнения:
x + y + z = 20.

Также известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон:
A = xy.

Мы хотим найти прямоугольник с наибольшей площадью. Выразим одну переменную из уравнения суммы длин трех сторон и подставим ее в формулу для площади:
z = 20 - x - y.
A = xy = x(20 - x - y) = 20x - x² - xy.

Для нахождения максимальной площади, найдем производную функции площади по переменной x:
dA/dx = 20 - 2x - y.

Максимум площади достигается тогда, когда производная равна нулю. Решим это уравнение относительно y:
20 - 2x - y = 0,
y = 20 - 2x.

Подставим найденное значение y в уравнение суммы длин трех сторон и решим относительно x:
x + (20 - 2x) + z = 20,
z = -x + 20.

Таким образом, стороны прямоугольника будут иметь вид: x, 20 - 2x и -x + 20.

Мы можем использовать это уравнение, чтобы найти стороны прямоугольника, для которого площадь будет максимальной. Подставляя значения x, найденные из уравнения производной, найдем стороны прямоугольника и, затем, вычислим его площадь.

Надеюсь, мои решения будут понятны и помогут вам в учебе! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!