Найти промежутки возрастания и убывания функции: y=x^4-32x^2+5

Y`=4x³-64x=4x(x-4)(x+4)=0
x=0  x=4  x=-4
               _              +             _               +
(-4)(0)(4)
возр x∈(-4;0) U (4;∞)
убыв x∈(-∞;-4) U (0;4)   

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, нам нужно проанализировать ее производную. Производная функции y=x^4-32x^2+5 равна:

y' = 4x^3 - 64x

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания, мы должны найти значения аргумента x, для которых производная положительна (промежуток возрастания) или отрицательна (промежуток убывания).

1. Начнем с промежутков возрастания. Для этого нужно найти значения x, при которых y' > 0. Решим неравенство:

4x^3 - 64x > 0

Разделим обе части неравенства на 4, чтобы упростить его:

x^3 - 16x > 0

Теперь факторизуем этот кубический полином:

x(x^2 - 16) > 0

x(x + 4)(x - 4) > 0

Теперь посмотрим на значения x, для которых неравенство выполняется. Используем метод интервалов:

- Берем первый множитель (x) и проверяем его значения.
- При x = -∞ (минус бесконечность) неравенство не выполняется.
- При x = 0 неравенство выполняется.
- При x = +∞ (плюс бесконечность) неравенство не выполняется.

- Берем второй множитель (x + 4) и проверяем его значения.
- При x = -4 неравенство выполняется.
- При x = 0 неравенство не выполняется.
- При x = +∞ неравенство выполняется.

- Берем третий множитель (x - 4) и проверяем его значения.
- При x = -∞ неравенство выполняется.
- При x = -4 неравенство не выполняется.
- При x = 4 неравенство выполняется.

Из всего этого следует, что неравенство x(x + 4)(x - 4) > 0 выполняется для x < -4 и -4 < x < 0, а также для x > 4. Таким образом, функция возрастает на промежутках (-∞, -4), (-4, 0) и (4, +∞).

2. Теперь перейдем к промежуткам убывания. Для этого нужно найти значения x, при которых y' < 0. Решим неравенство:

4x^3 - 64x < 0

Разделим обе части неравенства на 4:

x^3 - 16x < 0

Используя метод интервалов, проверяем значения x:

- Берем первый множитель (x) и проверяем его значения.
- При x = -∞ неравенство не выполняется.
- При x = 0 неравенство не выполняется.
- При x = +∞ неравенство не выполняется.

- Берем второй множитель (x + 4) и проверяем его значения.
- При x = -∞ неравенство не выполняется.
- При x = -4 неравенство выполняется.
- При x = 0 неравенство не выполняется.
- При x = +∞ неравенство не выполняется.

- Берем третий множитель (x - 4) и проверяем его значения.
- При x = -∞ неравенство выполняется.
- При x = -4 неравенство не выполняется.
- При x = 4 неравенство не выполняется.

Из всего этого следует, что неравенство x(x + 4)(x - 4) < 0 выполняется для -4 < x < 0. Таким образом, функция убывает на промежутке (-4, 0).

Итак, промежутки возрастания функции y=x^4-32x^2+5: (-∞, -4), (-4, 0), (4, +∞).
Промежуток убывания функции y=x^4-32x^2+5: (-4, 0).