При каких значениях переменной х выполняется двойное неравенство:
1) 0 ≤ х^2 - 4х< 5;
2) -2< 3х^2 - 4х - 1 < 2;
3) 2 ≤ 2х^2 - 5х + 2 < 4;
4) -2 ≤ х^2 - 4х < 5?​

Давайте рассмотрим каждое из данных двойных неравенств отдельно и найдем значения переменной х, для которых неравенства выполняются.

1) 0 ≤ х^2 - 4х < 5

Для начала, приведем неравенство к виду х^2 - 4х - 5 ≥ 0. Теперь решим квадратное уравнение х^2 - 4х - 5 = 0:

D = (-4)^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36

Так как дискриминант D больше нуля, уравнение имеет два действительных корня:
х1 = (4 + √36) / 2 = (4 + 6) / 2 = 5
х2 = (4 - √36) / 2 = (4 - 6) / 2 = -1

Теперь построим таблицу знаков для значения функции х^2 - 4х - 5 на отрезке между найденными корнями:

-∞ -1 5 ∞
+ - + +

Из таблицы знаков видно, что неравенство выполняется при значениях х из интервала [-1, 5], то есть ответом на это неравенство будет:

Ответ: -1 ≤ х ≤ 5.

2) -2 < 3х^2 - 4х - 1 < 2

Приведем неравенство к виду 3х^2 - 4х - 1 > -2 и 3х^2 - 4х - 1 < 2:

3х^2 - 4х + 1 > -2
3х^2 - 4х - 1 < 2

Решим первое неравенство:

3х^2 - 4х + 3 > 0

D = (-4)^2 - 4 * 3 * 3 = 16 - 36 = -20

Так как дискриминант D меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней. Из этого следует, что неравенство 3х^2 - 4х + 3 > 0 никогда не выполняется.

Решим второе неравенство:

3х^2 - 4х - 3 < 0

D = (-4)^2 - 4 * 3 * (-3) = 16 + 36 = 52

Так как дискриминант D больше нуля, уравнение имеет два действительных корня:
х1 = (4 + √52) / 6
х2 = (4 - √52) / 6

Построим таблицу знаков для значения функции 3х^2 - 4х - 3 на отрезке между найденными корнями:

-∞ х1 х2 ∞
- + - +

Из таблицы знаков видно, что неравенство выполняется при значениях х из интервала (х1, х2), то есть ответом на это неравенство будет:

Ответ: х1 < х < х2.

3) 2 ≤ 2х^2 - 5х + 2 < 4

Приведем неравенство к виду 2х^2 - 5х + 2 ≥ 2 и 2х^2 - 5х + 2 < 4:

2х^2 - 5х ≥ 0
2х^2 - 5х < 2

Решим первое неравенство:

2х^2 - 5х = 0
х(2х - 5) = 0

Из этого следует, что х = 0 или х = 5/2. Построим таблицу знаков для значения функции 2х^2 - 5х на отрезке между найденными корнями:

-∞ 0 5/2 ∞
- 0 + +

Из таблицы знаков видно, что первое неравенство выполняется при х в интервалах (-∞, 0] и [5/2, +∞).

Решим второе неравенство:

2х^2 - 5х - 2 < 0

D = (-5)^2 - 4 * 2 * (-2) = 25 + 16 = 41

Так как дискриминант D больше нуля, уравнение имеет два действительных корня:
х1 = (5 + √41) / 4
х2 = (5 - √41) / 4

Построим таблицу знаков для значения функции 2х^2 - 5х - 2 на отрезке между найденными корнями:

-∞ х1 х2 ∞
+ - + +

Из таблицы знаков видно, что второе неравенство выполняется при значениях х из интервала (х2, х1), то есть ответом на это неравенство будет:

Ответ: х2 < х < х1.

4) -2 ≤ х^2 - 4х < 5

Приведем неравенство к виду х^2 - 4х + 2 ≥ -2 и х^2 - 4х + 2 < 5:

х^2 - 4х ≥ -4
х^2 - 4х < 3

Решим первое неравенство:

х^2 - 4х + 4 ≥ 0
(х - 2)^2 ≥ 0

Это неравенство выполняется для всех значениях х. Построим таблицу знаков для значения функции х^2 - 4х + 2 на отрезке от минус бесконечности до плюс бесконечности:

-∞ ∞
+ +

Из таблицы знаков видно, что первое неравенство выполняется при любых значениях х.

Решим второе неравенство:

х^2 - 4х - 3 < 0

Данное неравенство выполняется на интервале (-∞, 3) и (1, +∞). Построим таблицу знаков для значения функции х^2 - 4х - 3 на отрезке от минус бесконечности до плюс бесконечности:

-∞ 1 3 ∞
- - + +

Из таблицы знаков видно, что второе неравенство выполняется при значениях х из интервалов (1, 3) и (-∞, 1).

Ответ: х ∈ (-∞, 1) ∪ (1, 3) ∪ (3, +∞).