Найдите точки экстремума и минимума у функций y=x^2(x-2)^2 ​

Решение задания приложено

Объяснение:

пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:  

f'0(x*) = 0  

f''0(x*) > 0  

то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.  

Если в точке x* выполняется условие:  

f'0(x*) = 0  

f''0(x*) < 0  

то точка x* - локальный (глобальный) максимум.  

Решение.  

Находим первую производную функции:  

y' = x2(2x-4)+2x(x-2)2  

или  

y' = 4x(x-2)*(x-1)  

Приравниваем ее к нулю:  

4x(x-2)*(x-1) = 0  

x1 = 0  

x2 = 1  

x3 = 2  

Вычисляем значения функции  

f(0) = 0  

f(1) = 1  

f(2) = 0  

fmin = 0, fmax = 1  

Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:  

y'' = 2x2+4x(2x-4)+2(x-2)2  

или  

y'' = 12x2-24x+8  

Вычисляем:  

y''(0) = 8>0 - значит точка x = 0 точка минимума функции.  

y''(1) = -4<0 - значит точка x = 1 точка максимума функции.  

y''(2) = 8>0 - значит точка x = 2 точка минимума функции.