Найдите коэффициент угла наклона касательной к графику функции y=5x^(-2/5) + 27 в точке графика с ординатой 32.

Для решения данной задачи нам понадобится немного знаний о производных и коэффициенте наклона касательной.

Сначала найдем производную функции y=5x^(-2/5) + 27. Для этого используем правило дифференцирования степенной функции и правило суммы производных:

dy/dx = d(5x^(-2/5))/dx + d(27)/dx

dy/dx = -2/5 * 5x^(-7/5) + 0

dy/dx = -2x^(-7/5)

Теперь можем найти коэффициент угла наклона касательной, заменив x на значение точки графика с ординатой 32.

Запишем уравнение касательной в точке (x_0, y_0):

y - y_0 = k(x - x_0),

где k - коэффициент угла наклона касательной.

Теперь подставим x_0 и y_0 в это уравнение. В данном случае x_0 неизвестен, но мы знаем, что y_0 = 32. Также мы знаем, что производная функции в точке x_0 равна изначальному значению k. То есть, dy/dx|x_0 = k.

Таким образом, уравнение касательной примет вид:

y - 32 = k(x - x_0).

Осталось только найти значение k. В этом нам поможет изначальное уравнение для производной:

-2x^(-7/5) = k.

Теперь найдем x, для которого y = 32:

32 = 5x^(-2/5) + 27.

Вычтем 27 из обеих сторон:

5x^(-2/5) = 5.

Теперь поделим обе стороны на 5:

x^(-2/5) = 1.

Разделим обе стороны на x:

x^(-2/5) / x = 1 / x.

Поскольку x не равно 0, мы можем сократить его слева и получить:

x^(-2/5 - 1) = 1 / x.

Упростим показатель степени:

x^(-7/5) = 1 / x.

Таким образом, у нас получается уравнение:

-2 / x = k.

Теперь мы можем записать уравнение касательной в точке с ординатой 32:

y - 32 = (-2 / x)(x - x_0).

Сокращаем и упрощаем выражение:

y - 32 = -2x/x_0 + 2.

Теперь мы можем заменить y на функцию и x на x_0:

5x_0^(-2/5) + 27 - 32 = -2x_0/x_0 + 2.

Упростим это выражение:

5x_0^(-2/5) - 5 = -2 + 2.

Теперь сгруппируем и упростим:

5x_0^(-2/5) - 5 = 0.

Добавляем 5 к обеим сторонам:

5x_0^(-2/5) = 5.

Деля обе стороны на 5:

x_0^(-2/5) = 1.

Разделим обе стороны на x_0:

x_0^(-2/5) / x_0 = 1 / x_0.

Поскольку x_0 не равно 0, мы можем сократить его слева и получить:

x_0^(-2/5 - 1) = 1 / x_0.

Упростим показатель степени:

x_0^(-7/5) = 1 / x_0.

Таким образом, мы получаем ту же самую производную, которую нашли ранее: -2x^(-7/5) = k.

Поэтому коэффициент угла наклона касательной к графику функции y=5x^(-2/5) + 27 в точке графика с ординатой 32 равен -2.