Докажите,что многочлен x^2-2x+y^2-4y+6 при любых значениях входящих в него переменных принимает положительные значения.

x²-2x=(x-1)²-1

y²-4y=(y-2)²-4

x²-2x+y²-4y+6=(x-1)²-1+(y-2)²-4+6=(x-1)²+(y-2)²+1>0 при любых значениях х и у. Любое выражение в квадрате≥0, а сумма неотрицательных выражений будет тоже неотрицательной. Если к неотрицательному выражению прибавить положительную 1, то получим выражение >0.

рассмотрим данный многочлен как несколько отдельный функций

f(x)=x^2-2x

f(y)=y^2-4y

C = 6

первая функция на всей области определения имеет область значениий [-1, inf)

вторая ф-я на всей области определения имеет область значениий [-4, inf)

сумма этих функций будет иметь обасть значений [-5, inf)

а с учетом того что к этой сумме прибавляется константа 6, то область значений сместится и будет равна [1, inf) для всех значений x и y

inf - бесконечность