Знайти точки перетину медіан і висот у трикутнику з вершинами А(5;-2), В(3;-3), C(-1;2)

Дан треугольник с вершинами А(5;-2), В(3;-3), C(-1;2).

Точка М пересечения медиан определяется как среднее арифметическое координат вершин.

х(М) = (5+3-1)/3 = 7/3, у(М) = (-2-3+2)/3 = -1.

Точка М((7/3); -1).

Находим координаты векторов сторон      

АВ (c)              BC (a)              AС (b)  

x y         x y         x y

-2 -1       -4 5        -6 4.

Уравнение стороны АВ:

(х - 5)/(-2) = (у + 2)/(-1)     это каноническое уравнение.

-х + 5 = -2у - 4,

х - 2у - 9 = 0                     уравнение общего вида Ах + Ву + С = 0.

У перпендикуляра к АВ ( то есть высоты СС2) коэффициенты меняются на (-В) и А.

Высота СС2: 2х + у + С = 0. Для определения коэффициента С подставим координаты точки С. 2*(-1) + 2 + С = 0. Отсюда С = 0.

Уравнение высоты СС2: 2х + у  = 0.

Переходим к стороне ВС.

Уравнение стороны ВС:

(х - 3)/(-4) = (у + 3)/5     это каноническое уравнение.

5х - 15 = -4у - 12,

5х + 4у - 3 = 0                     уравнение общего вида Ах + Ву + С = 0.

У перпендикуляра к ВС ( то есть высоты АА2) коэффициенты меняются на В и (-А).

Высота АА2: 4х - 5у + С = 0. Для определения коэффициента С подставим координаты точки А. 4*5 - 5*(-2) + С = 0. Отсюда С = -30.

Уравнение высоты АА2: 4х - 5у - 30 = 0.

Теперь можно определить точку Н пересечения высот, приравняв уравнения двух высот.

СС2: 2х + у  = 0         умножим на (-2)  -4х - 2у       = 0

АА2: 4х - 5у - 30 = 0                               4х - 5у - 30 = 0.    

                                                                        -7у - 30 = 0.

у(Н) = 30/(-7) = (-30/7) ≈ -4,2857, х(Н) = (-у/2) = (15/7) ≈ 2,1429.

Точка Н((15/7); (-30/7)).