1. Математика
  2. Знайти частинний розв язок

Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння за початкових умов. у'' + 4 у' = 4х
Початкові умови
x0 = 0
y0 = 0
y'0 = 1

bibok3 bibok3    1   09.11.2022 07:21    0

Ответы
anelya033 anelya033  09.11.2022 07:22

Частное решение дифференциального уравнения:

\boldsymbol{\boxed{y = \dfrac{x^{2} }{2} - \dfrac{x}{4} - \dfrac{5e^{-4x}}{16}+ \dfrac{5}{16}}}

Примечание:

L \ - преобразование Лапласа

Функция y зависит от x.

Прямое преобразование Лапласа (связь между оригиналами и изображениями):

x \xrightarrow{ \ L \ } \dfrac{1}{p^{2}}

По свойствам преобразования Лапласа:

Если f(x) \xrightarrow{ \ L \ } F(p), то  \alpha f(x) \xrightarrow{ \ L \ } \alpha F(p)

Пошаговое объяснение:

y'' + 4y' = 4x; y(0) = 0; y'(0) = 1

Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения воспользуемся методом операционного исчисления, а именно преобразованием Лапласа:

y \xrightarrow{ \ L \ } F(p)

Дифференцирования оригинала:

y' \xrightarrow{ \ L \ } pF(p) - y(0) = pF(p) - 0 = pF(p)

y'' \xrightarrow{ \ L \ } p^{2}F(p) - p\cdot y(0) - y'(0) = p^{2}F(p) - p \cdot 0 - 1 = p^{2}F(p) - 1

p^{2}F(p) - 1 + 4pF(p) = \dfrac{4}{p^{2}}

p^{2}F(p) + 4pF(p) - 1 = \dfrac{4}{p^{2}}

(p^{2} + 4p)F(p) = \dfrac{4}{p^{2}} + 1 \Longrightarrow F(p) = \dfrac{\dfrac{4}{p^{2}} + 1}{p^{2} + 4p} = \dfrac{\dfrac{p^{2} + 4}{p^{2}} }{\dfrac{p(p + 4)}{1} } = \dfrac{p^{2} + 4}{p^{3}(p + 4)}

Раскладываем дробь на простейшие:

\dfrac{p^{2} + 4}{p^{3}(p + 4)} = \dfrac{A}{p^{3}} + \dfrac{B}{p^{2}} + \dfrac{C}{p} + \dfrac{D}{ p + 4} = \dfrac{A(p + 4) + Bp(p + 4) + Cp^{2}(p + 4) + Dp^{3}}{p^{3}(p + 4)}=

= \dfrac{Ap + 4A + Bp^{2} + 4Bp + Cp^{3} + 4Cp^{2} + Dp^{3}}{p^{3}(p + 4)}=

= \dfrac{Cp^{3} + Dp^{3} + Bp^{2}+ 4Cp^{2} +Ap +4Bp + 4A}{p^{3}(p + 4)}=

= \dfrac{p^{3}(C + D) + p^{2}(B+ 4C) +p(A +4B) + 4A}{p^{3}(p + 4)}=

\left \{\begin{array}{l} C + D = 0 \\ B + 4C = 1 \\ A + 4B = 0\\ 4A = 4|:4\end{array} \right \ \left \{\begin{array}{l} C + D = 0 \\ B + 4C = 1 \\ 1 + 4B = 0\\ A = 1\end{array} \right \ \left \{\begin{array}{l} D = -C \\ 4C = 1 - B \\ 4B = -1|:4\\ A = 1\end{array} \right \ \left \{\begin{array}{l} D = -C \\ 4C = 1 - B|:4 \\ B = -0,25\\ A = 1\end{array} \right

\displaystyle \left \{ {{C = \dfrac{1 - B}{4} = \dfrac{1 + 0,25}{4} = \dfrac{1,25}{4} = 0,3125 } \atop {D = -C = -0,3125}} \right.

\dfrac{p^{2} + 4}{p^{3}(p + 4)} = \dfrac{1}{p^{3}} - \dfrac{0,25}{p^{2}} + \dfrac{0,3125 }{p} - \dfrac{0,3125 }{ p + 4} =

=\dfrac{1}{p^{3}} - \dfrac{1}{4p^{2}} + \dfrac{5 }{16p} - \dfrac{5 }{16(p + 4)}

Таким образом F(p) =\dfrac{1}{p^{3}} - \dfrac{1}{4p^{2}} + \dfrac{5 }{16p} - \dfrac{5 }{16(p + 4)}

Выполним обратное преобразование Лапласа:

F(p) \xrightarrow{ \ L^{-1} \ } y

\dfrac{1}{p^{3}} \xrightarrow{ \ L^{-1} \ } \dfrac{x^{2} }{2}

\dfrac{1}{p^{2}} \xrightarrow{ \ L^{-1} \ } x

\dfrac{1}{p} \xrightarrow{ \ L^{-1} \ } 1

\dfrac{1}{p + 4} \xrightarrow{ \ L^{-1} \ } e^{-4x}

Тогда исходная функция равна:

y = \dfrac{x^{2} }{2} - \dfrac{x}{4} - \dfrac{5e^{-4x}}{16}+ \dfrac{5}{16}


Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння за початкових умов. у'' + 4 у' = 4х Початкові у
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
Нурка11лиса Нурка11лиса  12.12.2020 04:22
Луч AC - биссектриса угла BAD. Угол BCA равен углу DCA Докажите, что AB = AD​...
makskatya20 makskatya20  12.12.2020 04:22
Дано выражение f(x)=3x-2 Принадлежат ли точки А (1; 1), В ( -7; -23) графику этого выражения?...
Evgenevgenevgen Evgenevgenevgen  12.12.2020 04:22
Реши пропорцию: d:12/14=4:9:48/9...
joje1 joje1  12.12.2020 04:22
Тетя Арифа притоговила два торта: лимонный и ореховый, одинакового размера. Лимонный торт она разрезала на 12 равных кусочков, а ореховый на 8. Она отправила своим...
Neo11118 Neo11118  12.12.2020 04:21
Реши задачу и запиши ответ Найди процент содержания железав руде, если 120 т этой рудысодержат 8, 4т железа,ответ запиши в видедесятичной дроби с запятой,ответ:...
erikfarzaliev erikfarzaliev  14.02.2020 19:38
Чтобы отмерить 10 м Андрею Пришлось сделать 20 шагов Сколько шагов он сделает если пройдёт 23 м​...
коля860 коля860  14.02.2020 19:35
Найди длину окружности если : а) 1,4 м. б) радиус равен 0,02 км. ​...
bedboy777 bedboy777  14.02.2020 19:34
Номер 795, только пункт 3(а, б, в за грамотный ответ...
Slavkamyroslavka Slavkamyroslavka  14.02.2020 19:33
Два друга договорились о встрече.От 19:00 до 19:30,причем каждый обещал ждать другого, не более 10 минКакова вероятность, что они не встретятся?​...
bezzzdarnost bezzzdarnost  14.02.2020 19:33
Если скорость лодки в стоячей воде составляет 16 км час, а скорость течения 2 целых 1/3 км час , то скорость лодки против течения составляет Варианты ответа - 14 целых...

Популярные вопросы