Замените​ a,​ b,​ c,​ d, e,​ f​ на числа так, чтобы получилась верная це­почка сравнений. 3^1000≡(3^a)^500≡b^500≡(b^3)^166⋅b^c≡d^166×e≡f(mod7).

​

Давайте решим эту задачу шаг за шагом:

Шаг 1: Найдем остаток от деления 3^1000 на 7.
Для этого воспользуемся свойством сравнений: a^b ≡ (a^c)^d (mod n), если b ≡ c*d (mod φ(n)), где φ(n) - функция Эйлера от n. В данном случае n = 7, поэтому φ(7) = 6.

Так как 1000 ≡ 4 (mod 6), мы можем записать: 3^1000 ≡ (3^4)^250 (mod 7).

Далее упростим выражение: 3^1000 ≡ (81)^250 (mod 7).

Далее найдем остаток от деления 81 на 7: 81 ≡ 4 (mod 7).

Итак, мы получили: 3^1000 ≡ 4^250 (mod 7).

Шаг 2: Найдем остаток от деления 4^250 на 7.
Воспользуемся свойством сравнений, аналогичным предыдущему. Так как 250 ≡ 4 (mod 6), мы можем записать: 4^250 ≡ (4^4)^62 * 4^2 (mod 7).

Далее упростим выражение: 4^250 ≡ (256)^62 * 16 (mod 7).

Найдем остаток от деления 256 на 7: 256 ≡ 4 (mod 7).

Также найдем остаток от деления 16 на 7: 16 ≡ 2 (mod 7).

Итак, мы получили: 4^250 ≡ 4^62 * 2 (mod 7).

Шаг 3: Найдем остаток от деления 4^62 на 7.
Снова воспользуемся свойством сравнений. Так как 62 ≡ 2 (mod 6), мы можем записать: 4^62 ≡ (4^2)^31 (mod 7).

Далее упростим выражение: 4^62 ≡ (16)^31 (mod 7).

Найдем остаток от деления 16 на 7: 16 ≡ 2 (mod 7).

Итак, мы получили: 4^62 ≡ 2^31 (mod 7).

Шаг 4: Найдем остаток от деления 2^31 на 7.
Поскольку 31 ≡ 1 (mod 6), мы можем записать: 2^31 ≡ (2^1)^31 (mod 7).

Далее упростим выражение: 2^31 ≡ 2^31 (mod 7).

Итак, мы получили: 2^31 ≡ 2^31 (mod 7).

Таким образом, мы нашли значения a, b, c, d, e и f:

a = 4, b = 2, c = 3, d = 2, e = 1, f = 2.

Подставляя полученные значения в исходное уравнение, получим верную цепочку сравнений:

3^1000 ≡ 4 ≡ 2^500 ≡ (2^3)^166 * 2^3 ≡ 2^166 * 2^3 ≡ 2^169 ≡ 2 ≡ 2^166 * 1 ≡ 2^166 ≡ 2^31 * 2^4 ≡ 2^35 ≡ 2 * 2^34 ≡ 2 * (2^3)^11 * 2 ≡ 2 * 2^11 * 2 ≡ 2 * 2048 * 2 ≡ 2 * 2048 * 2 ≡ 2 * 4 * 2 ≡ 2 * 8 ≡ 16 ≡ 2 (mod 7).

Надеюсь, это разъяснение поможет вам лучше понять процесс решения данной задачи!