Задача №7. Заданную функцию y = f (x) исследовать на непрерывность и выяснить характер точек разрыва. Сделать схематический график

Для начала давай разберемся с определением непрерывности функции. Функция f(x) будет непрерывной в точке a, если выполняются три условия:

1. f(a) - значением функции в точке a существует
2. lim(x→a) f(x) - предел функции при x стремящемся к a существует
3. f(a) = lim(x→a) f(x) - предел функции равен значению функции в точке a

Теперь приступим к исследованию непрерывности функции y = f(x) из задачи:

1. Проверим существование значений функции в заданных точках.
a) При x < -4 функция не определена, так как указано, что f(x) = √(x+4) и x+4 не может быть отрицательным числом, поэтому в данном случае функция не существует.
б) При x ≥ -4 функция существует и равна √(x+4).

2. Проверим существование предела функции при x стремящемся к заданным точкам.
a) Проверим предел при x → -4. Подставим x = -4 и найдем предел: lim(x→-4) √(x+4) = √(0) = 0. Значит, предел существует.
б) Проверим предел при x → ∞. Для этого рассмотрим поведение функции при x, стремящемся к бесконечности. При больших положительных x, √(x+4) будет стремиться к бесконечности. Значит, предел при x → ∞ не существует.

3. Проверим выполнение условия равенства значения функции и ее предела в заданных точках.
a) Проверим f(-4) = lim(x→-4) √(x+4). Значение функции в точке -4 равно 0, как мы уже выяснили ранее. Предел функции при x → -4 также равен 0. Поэтому условие равенства значений и пределов выполняется.

Таким образом, функция y = f(x) непрерывна при x ≥ -4 за исключением точки x = -4, где имеется устранимый разрыв.

Теперь перейдем к построению схематического графика функции:

1. Начнем с осей координат. Поскольку функция существует только при x ≥ -4, мы будем рисовать график только после этой точки и справа от нее.

2. Строим график функции √(x+4). Поскольку при x = -4 имеется устранимый разрыв, мы рисуем открытую точку в этой точке, чтобы показать, что функция не определена здесь. При x ≥ -4 график функции будет растущей кривой, направленной вверх.

Таким образом, построен график функции y = f(x).