Y’+ytgx=cos2x; y(π/4)=1/2 решить пример

tjcjdjf tjcjdjf    1   18.06.2021 12:12    21

Ответы
TemhenkoShasa TemhenkoShasa  23.01.2024 11:47
Добрый день! Давайте решим данный пример пошагово.

1. Сначала запишем данное дифференциальное уравнение в стандартной форме:
Y’ + ytgx = cos2x.

2. Для начала найдем общее решение данного уравнения без учета начальных условий. Для этого воспользуемся методом вариации постоянной.

3. Предположим, что общее решение можно записать в виде:
y(x) = v(x) * u(x), где u(x) - произвольная функция, а v(x) - функция, которую мы должны найти.

4. Вычислим производную y(x):
y'(x) = v'(x)u(x) + v(x)u'(x).

5. Подставим найденные значения в исходное уравнение:
v'(x)u(x) + v(x)u'(x) + v(x)u(x)*tg(x) = cos(2x).

6. Поменяем местами в уравнении слагаемые, содержащие производные, и вынесем общий множитель за скобки:
v'(x)u(x) + u'(x)v(x) + u(x)v(x)*tg(x) = cos(2x).

7. Выражаем производную v'(x) в явном виде:
v'(x) = -[u(x)*v(x)*tg(x) + u'(x)*v(x)] / u(x).

8. Подставляем выражение для v'(x) в уравнение:
-[u(x)*v(x)*tg(x) + u'(x)*v(x)] / u(x) * u(x) + u(x)v(x)*tg(x) = cos(2x).

9. Упрощаем уравнение, сокращая общие множители:
- v(x)*u'(x) = cos(2x).

10. Выразим производную u'(x) в явном виде:
u'(x) = -cos(2x) / v(x).

11. Окончательно, уравнение для v(x) и u(x) имеет вид:
v'(x) = -u(x)*v(x)*tg(x) - cos(2x) / v(x),
u'(x) = -cos(2x) / v(x).

12. Решим первое уравнение:
v'(x) = -u(x)*v(x)*tg(x) - cos(2x) / v(x).

13. Заменим tg(x) на sin(x) / cos(x):
v'(x) = -u(x)*v(x)*sin(x) / cos(x) - cos(2x) / v(x).

14. Умножим обе части уравнения на v(x) и переместим слагаемое с углом cos(2x) на правую сторону:
v'(x)*v(x) = -u(x)*v(x)*sin(x) / cos(x) - cos(2x).

15. Проинтегрируем обе части уравнения:
∫ v'(x)*v(x) dx = ∫ [-u(x)*v(x)*sin(x) / cos(x) - cos(2x)] dx.

16. Вычислим интегралы:
∫ v'(x)*v(x) dx = ∫ [-u(x)*v(x)*sin(x) / cos(x)] dx - ∫ cos(2x) dx.

17. Представим уравнение в виде:
(v(x))^2 / 2 = -∫ u(x)*v(x)*sin(x) / cos(x) dx - 1/2 * sin(2x) + C,
где C - произвольная постоянная.

18. Решим второе уравнение:
u'(x) = -cos(2x) / v(x).

19. Умножим обе части уравнения на dx и переместим двумя слагаемыми в левую часть:
u'(x)*v(x) dx + cos(2x) dx = 0.

20. Проинтегрируем обе части уравнения:
∫ u'(x)*v(x) dx + ∫ cos(2x) dx = ∫ 0 dx.

21. Вычислим интегралы:
∫ u'(x)*v(x) dx + ∫ cos(2x) dx = 0.

22. Полученное уравнение не дает нам явного выражения для функции u(x). Однако, мы можем задать произвольную функцию u(x) и получить соответствующую функцию v(x) из предыдущего уравнения.

23. Для начального условия y(π/4) = 1/2 зададим первоначальную функцию u(x) = 1 и найдем соответствующую функцию v(x).

24. Подставим u(x) = 1 и найденные выше значения в уравнение:
(v(x))^2 / 2 = -(1)*v(x)*sin(x) / cos(x) - 1/2 * sin(2x) + C.

25. Упростим уравнение, выразив v(x):
(v(x))^2 = -2 * v(x)*sin(x) / cos(x) - sin(2x) + 2C.

26. Подставим значение начального условия y(π/4) = 1/2 в уравнение:
(1/2)^2 = -2 * (1/2)*sin(π/4) / cos(π/4) - sin(2(π/4)) + 2C.

27. Упростим уравнение и решим его относительно C:
1/4 = -1/2 + 2C.

28. Решаем уравнение:
1/4 + 1/2 = 2C,
3/4 = 2C,
C = 3/8.

29. Теперь, у нас есть начальное условие y(π/4) = 1/2 и соответствующие функции u(x) = 1 и v(x), которые мы нашли в предыдущих шагах. Подставим найденные значения в общее решение:
y(x) = v(x) * u(x),
y(x) = v(x) * 1,
y(x) = v(x).

30. Таким образом, общим решением данного дифференциального уравнения является функция y(x) = v(x), где v(x) - функция, которая может быть найдена на предыдущих шагах.

31. Для получения конкретного решения данного уравнения с начальным условием y(π/4) = 1/2, подставим значение x = π/4 в общее решение и найдем соответствующее значение y(x).

32. Подставим x = π/4 в уравнение y(x) = v(x):
y(π/4) = v(π/4).

33. Подставим начальное условие y(π/4) = 1/2 в уравнение:
1/2 = v(π/4).

34. Мы должны найти конкретное значение v(π/4) для того, чтобы решить данное дифференциальное уравнение с начальным условием. К сожалению, на текущем шаге нам не удалось найти явное выражение для функции v(x), и поэтому нам не удалось найти конкретное значение v(π/4).

35. В итоге, чтобы решить данный пример с начальным условием y(π/4) = 1/2, нам понадобится найти эксплицитное выражение для функции v(x) или применить численные методы для приближенного решения данного уравнения.

Надеюсь, этот ответ был полным и понятным для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Удачи вам в обучении!
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика