y=3x^5-5x^3+1 на отрезке [-7;0]. Найти наибольшее значение функции

y'=15x^4-15x^2

x=0 x^2-1=0

x=1

x=-1

x<-1 y'>0

-1<x<0 y'<0

-1- точка максимума

x>1 y'>0

0<x<1 y'<0

1- точка минимума

y(1)=3-5+1=-1

y(-1)=-3+5+1=3.

Чтобы найти наибольшее значение функции y=3x^5-5x^3+1 на отрезке [-7;0], нам необходимо следовать нескольким шагам:

Шаг 1: Найдите критические точки
Критические точки - это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Чтобы найти критические точки, найдем производную функции y по переменной x и приравняем ее к нулю:

dy/dx = 15x^4 - 15x^2 = 0

Здесь использовано правило дифференцирования для каждого слагаемого функции y. Факторизуя выражение, мы получаем:

15x^2(x^2 - 1) = 0

Таким образом, у нас есть два значения x: x=0 и x=±1. Эти значения помогут нам искать экстремумы функции y.

Шаг 2: Оцените значения функции в критических точках и на концах отрезка
Теперь, когда мы знаем критические точки, оценим значения функции y в этих точках и на концах отрезка [-7;0].

Подставим x=0 в функцию y:

y(0) = 3*(0)^5 - 5*(0)^3 + 1 = 1

Оценим значения функции y в остальных критических точках:

y(-1) = 3*(-1)^5 - 5*(-1)^3 + 1 = 3 + 5 + 1 = 9
y(1) = 3*(1)^5 - 5*(1)^3 + 1 = 3 - 5 + 1 = -1

Теперь оценим значения функции на концах отрезка:

y(-7) = 3*(-7)^5 - 5*(-7)^3 + 1 ≈ -1028
y(0) = 3*(0)^5 - 5*(0)^3 + 1 = 1

Шаг 3: Сравните найденные значения и найдите наибольшее
Теперь сравним полученные значения функции и найдем наибольшее значение:

Наибольшее значение функции на отрезке [-7;0] равно 9, и оно достигается в точке x=-1.

Таким образом, наибольшее значение функции y=3x^5-5x^3+1 на отрезке [-7;0] равно 9 и достигается при x=-1.