Вычислить угол между диагоналями 4х угольника заданного своими вершинами : а(-9; 0),в(-3; 6),c(3; 4),d(6; -3)

Для решения данной задачи нам понадобится знание о свойстве параллелограмма: диагонали параллелограмма делятся пополам.

Шаг 1: Найдем середину диагонали AC. Для этого необходимо сложить координаты вершин A и C, и разделить результат на 2:
x середины AC = (xA + xC) / 2 = (-9 + 3) / 2 = -6 / 2 = -3
y середины AC = (yA + yC) / 2 = (0 + 4) / 2 = 4 / 2 = 2

Таким образом, середина диагонали AC имеет координаты (-3, 2).

Шаг 2: Найдем середину диагонали BD. Для этого необходимо сложить координаты вершин B и D, и разделить результат на 2:
x середины BD = (xB + xD) / 2 = (-3 + 6) / 2 = 3 / 2 = 1.5
y середины BD = (yB + yD) / 2 = (6 - 3) / 2 = 3 / 2 = 1.5

Таким образом, середина диагонали BD имеет координаты (1.5, 1.5).

Шаг 3: Определим угол между диагоналями AC и BD. Для этого нужно найти координаты точки пересечения диагоналей.

Воспользуемся уравнениями прямых, проходящих через диагонали. Уравнение прямой, проходящей через точки A и C:
(y - yA) / (xC - xA) = (x - xA) / (yC - yA)

Подставим значения координат точек A и C в уравнение:
(y - 0) / (3 - (-9)) = (x - (-9)) / (4 - 0)
y / 12 = (x + 9) / 4
4y = 12x + 36
y = 3x + 9 (уравнение прямой, проходящей через диагональ AC)

Аналогично найдем уравнение прямой, проходящей через точки B и D:
(y - yB) / (xD - xB) = (x - xB) / (yD - yB)
(y - 6) / (6 - (-3)) = (x - (-3)) / ((-3) - 6)
(y - 6) / 9 = (x + 3) / (-9)
-9y = 9x - 54
9y = -9x + 54
y = -x + 6 (уравнение прямой, проходящей через диагональ BD)

Решим систему уравнений для определения точки пересечения:
3x + 9 = -x + 6
4x = -3
x = -3/4

Подставим полученное значение x в одно из уравнений (например, в y = 3x + 9):
y = 3 * (-3/4) + 9
y = -9/4 + 9
y = -9/4 + 36/4
y = 27/4

Таким образом, точка пересечения диагоналей заданного четырехугольника имеет координаты (-3/4, 27/4).

Шаг 4: Найдем длины диагоналей AC и BD, а затем применим теорему косинусов для вычисления угла между диагоналями.

Для вычисления длин диагоналей воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

Длина AC = √[(xC - xA)² + (yC - yA)²]
= √[(3 - (-9))² + (4 - 0)²]
= √[12² + 4²]
= √[144 + 16]
= √160
= 4√10

Длина BD = √[(xD - xB)² + (yD - yB)²]
= √[(6 - (-3))² + (-3 - 6)²]
= √[9² + (-9)²]
= √[81 + 81]
= √162
= 9√2

Используем теорему косинусов для нахождения угла между диагоналями:
cos(угла между AC и BD) = (AC² + BD² - (длина AB)²) / (2 * AC * BD)

AB - это расстояние между точками A и B. Найдем его:

Длина AB = √[(xB - xA)² + (yB - yA)²]
= √[(-3 - (-9))² + (6 - 0)²]
= √[6² + 6²]
= √[36 + 36]
= √72
= 6√2

Теперь подставим полученные значения в формулу для нахождения cos(угла между AC и BD):
cos(угла между AC и BD) = (4√10)² + (9√2)² - (6√2)²) / (2 * 4√10 * 9√2)
= (16 * 10) + (81 * 2) - (36 * 2) / (2 * 4 * 9 * √10 * √2)
= (160 + 162 - 72) / (72 * √20)
= 250 / (72 * √4 * √5)
= 250 / (72 * 2 * √5)
= 250 / (144 * √5)
= 25 / (14 * √5)
= (25 / 14) * (1 / √5)
= (25 / 14√5) * (√5 / √5)
= (25√5 / 14√5) * (√5 / √5)
= (25√5) / (14√5)
= 25 / 14

Таким образом, угол между диагоналями заданного четырехугольника составляет 25 / 14 (или около 1.79) радиан или примерно 77.26 градусов.