Математика: Всем , решить номер 1 и если не трудно второй, .

№1 Доказательство с математической индукции:1) проверим равенство для n=1Равенство выполняется!2) покажем, что формула верна для n+1Левая часть равенства примет вид:Правая часть равенства примет вид: С другой стороны, если верно:то верно и следующее утверждение:(просто прибавляем к обеим частям равенства следующий член)далее приводим правую часть к виду: (n+1) / 2(n+3)Доказано!№2 неравенство не выполняется для всех nНапример, при n=2, получаем:2² 3*2-14 5 - неверное неравенство!(скорее всего тут...

Всем , решить номер 1 и если не трудно второй, .

Ответы

ilyuxayakovlev 06.07.2020 01:48

№1 Доказательство с математической индукции:

1) проверим равенство для n=1

$n=1: \ \frac{1}{2*3} +\frac{1}{3*4} +\frac{1}{4*5}+...+\frac{1}{(n+1)(n+2)} =\frac{1}{2*3} =\frac{1}{6}; \\ \\ \frac{n}{2(n+2)}=\frac{1}{2*(1+2)}=\frac{1}{6}$

Равенство выполняется!

2) покажем, что формула верна для n+1

Левая часть равенства примет вид:

$\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+\frac{1}{4*5}+...+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1+1)(n+1+2)}=\\ \\ =\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+\frac{1}{4*5}+...+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}$

Правая часть равенства примет вид:

$\frac{n+1}{2(n+1+2)}=\frac{n+1}{2(n+3)}$

С другой стороны, если верно:

$\frac{1}{2*3} +\frac{1}{3*4} +\frac{1}{4*5}+...+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{2(n+2)}$

то верно и следующее утверждение:

$\frac{1}{2*3} +\frac{1}{3*4} +\frac{1}{4*5}+...+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}=\frac{n}{2(n+2)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}$

(просто прибавляем к обеим частям равенства следующий член)

далее приводим правую часть к виду: (n+1) / 2(n+3)

$\frac{n}{2(n+2)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}=\frac{n(n+3)}{2(n+2)(n+3)}+\frac{2}{2(n+2)(n+3)}=\frac{n(n+3)+2}{2(n+2)(n+3)}=\\ \\ =\frac{n^2+3n+2}{2(n+2)(n+3)}=\frac{(n+1)(n+2)}{2(n+2)(n+3)} =\frac{n+1}{2(n+3)}$