Все признаки равенства треугольника

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1.

Пусть в этих треугольниках равны стороны AB и A1B1,

BC и B1C1,

а угол ABC равен углу A1B1C1.

Тогда треугольник A1B1C1 можно наложить на треугольник ABC так, чтобы угол A1B1C1 совпал с углом ABC.

При этом можно расположить треугольник A1B1C1 так, чтобы сторона А1В1совпала со стороной АВ, а сторона B1С1 - со стороной BС. (В случае необходимости вместо треугольника A1B1C1 можно рассматривать равный ему "перевернутый" треугольник, т. е. треугольник, симметричный A1B1C1относительно произвольной прямой .)

Тогда треугольники совпадут полностью, поскольку совпадут все их вершины. t

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть в треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 имеют место равенства

AB= A1B1,

ÐBAC = ÐB1A1C1,

ÐАВС= ÐА1В1С1.Поступим так же, как и в предыдущем случае. Наложим треугольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы совпали стороны AB и A1B1 и прилегающие к ним углы. Как и в предыдущем случае, при необходимости треугольник А1В1С1 можно "перевернуть обратной стороной". 

Тогда треугольники совпадут полностью. Значит, они равны. t

 Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть для треугольников ABC и A1B1C1
имеют место равенства АВ = А1В1,
ВС = В1С1,
СА = С1А1.