Вцилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки а и в, на окружности верхнего основания отмечены точки в1 и с1 так,

Question

Математика: Вцилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки а и в, на окружности верхнего основания отмечены точки в1 и с1 так, что вв1 является образующей, перпендикулярной основанию, а ac1 пересекает ось цилиндра а) доказать что ab и b1c1 перпендикулярны; б) найти угол между ac1 и bb1, если ab = 3; b1c1 = 4; bb1=1.

148625 · Answer

А) Пусть

– ось цилиндра, проведем плоскость через прямые AC_1

и

, обозначим точки A1 и C.
Заметим, что (AA_1O)

перпендикулярна основаниям, так как содержит OO_1

, поэтому $AA_1\subset (AA_1O)$ – образующая, перпендикулярная основаниям, тогда $AA_1 \parallel BB_1$ и AA_1 = BB_1

,

– прямоугольник, поэтому AB = A_1B_1

и $AB \parallel A_1B_1$ .
Треугольник A_1B_1C_1

вписан в окружность верхнего основания и опирается на диаметр, значит, он прямоугольный и $A_1B_1 \perp B_1C_1$ , а значит, и $AB \perp B_1C_1$ , поскольку $AB \parallel A_1B_1$ .

б) Угол между скрещивающимися прямыми AC_1

и

равен $\angle A_1AC_1$ , т.к. $AA_1 \parallel BB_1$ .
Рассмотрим прямоугольный треугольник A_1B_1C_1

. В нем

,

, тогда по теореме Пифагора A_1C_1=5

.
В треугольнике AA_1C_1

$A_1A \perp A_1C_1$ ( A_1C_1

лежит в основании, AA_1

перпендикулярно основанию), A_1A = BB_1 = 1

, тогда $\mathop{\mathrm{tg}}\angle A_1AC_1 = A_1C_1/AA_1 = 5$ ; $\angle A_1AC_1=\mathop{\mathrm{arctg}}5$ .
ответ: arctg 5.
Вцилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки а и в, на окружности верхнего основания отм

Вцилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки а и в, на окружности верхнего основания отм

Популярные вопросы