В треугольнике ABC известно, что AB:BC=2:3. Найдите отношение высот треугольника, проведенных из вершин C и A.

(см. рисунок) Проведем АН ⊥ ВС, CQ ⊥ AB.

У треугольников АВН и CBQ – прямоугольных ∠В является общим ⇒

два других острых угла также равны друг другу: ∠ВАН = ∠ ВСQ ⇒

ΔАВН подобен ΔCBQ (по трём углам) ⇒ CQ : BC = AH : BA ⇒

CQ : AH = BC : BA = 3 : 2 ⇒ отношение высот треугольника, проведенных из вершин C и A, равно 3 : 2 (три к двум)

Для решения этой задачи нам потребуется знание о том, что высота треугольника проводится из вершины на противоположную сторону и перпендикулярна этой стороне. Также нам понадобятся знания о пропорциях.

Для начала, обозначим высоту из вершины C как h₁ и высоту из вершины A как h₂.

У нас есть известное отношение сторон AB:BC=2:3. Мы можем использовать это отношение для вычисления длины сторон треугольника.

Допустим, длина стороны AB равна 2x, а длина стороны BC равна 3x. Тогда мы можем установить следующее соотношение:

AB/BC = 2/3

2x/3x = 2/3

Теперь мы можем упростить эту пропорцию, умножив числитель и знаменатель на 3x:

(2x * 3x) / (3x * 3x) = 2/3

6x² / 9x² = 2/3

Теперь мы можем сократить дробь наше соотношение:

2/3 = 2/3

Итак, мы видим, что отношение сторон AB:BC равно 2/3.

Теперь мы можем приступить к вычислению отношения высот треугольника из вершин C и A.

Мы знаем, что высоты треугольника проведены из вершин на противоположные стороны. Это означает, что отношение высот равно отношению сторон, которые они перпендикулярны.

То есть, отношение высот h₁/h₂ равно отношению сторон AB/BC.

Таким образом, мы получаем:

h₁/h₂ = AB/BC

h₁/h₂ = 2/3

Таким образом, отношение высот треугольника, проведенных из вершины C и A, равно 2/3.