В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй — 0,8, третьей — 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию
2)Вероятность поражения земляники вирусным заболеванием равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
3)Имеется шесть ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа попыток при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
4)Найти дисперсию случайной величины Y= -3x - 4 если известно, что D(X) = 4

1)P(X=0)=0,1*0,2*0,3=0,006

P(X=1)=0,9*0,2*0,3+0,1*0,8*0,3+0,1*0,2*0,7

P(X=2)=0,9*0,8*0,3+0,9*0,2*0,7+0,1*0,8*0,7

P(X=3)=0,9*0,8*0,7

2)ответ:

X  0 1 2 3 4

0,4096

0,4096

0,1536

0,0256

0,0016

3)Обозначим X - число опробованных ключей. Данная случайная величина может принимать следующие значения:

{X=1} - испробовали только один ключ (первый ключ является подходящим)

{X=2} - испробовали два ключа (первый ключ не подошел, второй ключ является искомым)

{X=3}- испробовали три ключа (первые два ключа не подошли, третий ключ является искомым)

{X=4]- испробовали четыре ключа (первые три ключа не подошли, четвертый ключ является искомым)

P(X=1) = 1/4

P(X=2) = 3/4*1/3 = 1/4

P(X=3) = 3/4*2/3*1/2 = 1/4

P(X=4) = 3/4*2/3*1/2*1 = 1/4

Ряд распределения случайной величины имеет вид

1 2 3 4

1/4 1/4 1/4 1/4

M(X) = 1*1/4 + 2*1/4 + 3*1/4 + 4*1/4 = 10/4

M(X^2) = 1*1/4 + 4*1/4 + 9*1/4+ 16*1/4 = 30/4

D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 30/4 - 10/4 = 5

Функция распределения случайной величины имеет вид

{0, 0<=X<1

{1/4, 1<=X<2

F(X) = {2/4, 2<=X<3

{3/4, 3<=X<4

{0, X>=4

4)

Пошаговое объяснение:

Хорошо, давайте рассмотрим каждое задание по очереди.

1) Дано: вероятность правильного решения первой задачи (P(X_1=1)) = 0,9, вероятность неправильного решения первой задачи (P(X_1=0)) = 1 - 0,9 = 0,1. Аналогично, вероятности правильного (P(X_2=1)) и неправильного (P(X_2=0)) решений второй задачи равны 0,8 и 1-0,8=0,2 соответственно, а для третьей задачи - 0,7 и 1-0,7=0,3.

Чтобы составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете, мы можем использовать биномиальное распределение. Пусть X - число правильно решенных задач в билете. Тогда закон распределения записывается как:

P(X=k) = С(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где С(n,k) - количество сочетаний из n по k (формула: C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)),
p - вероятность правильного решения задачи (дано в задании),
n - общее количество задач в билете.

Таким образом, закон распределения числа правильно решенных задач в билете будет выглядеть следующим образом:

P(X=0) = С(3,0) * (0,9)^0 * (0,1)^3 = 1 * 1 * 0,001 = 0,001,
P(X=1) = С(3,1) * (0,9)^1 * (0,1)^2 = 3 * 0,9 * 0,01 = 0,027,
P(X=2) = С(3,2) * (0,9)^2 * (0,1)^1 = 3 * 0,81 * 0,1 = 0,243,
P(X=3) = С(3,3) * (0,9)^3 * (0,1)^0 = 1 * 0,729 * 1 = 0,729.

Теперь, чтобы вычислить математическое ожидание (M) и дисперсию (D), воспользуемся следующими формулами:

M = n * p,
D = n * p * (1-p),

где n - общее количество задач в билете, p - вероятность правильного решения задачи.

В нашем случае:
n = 3,
p = 0,9.

Подставляем значения в формулы:

M = 3 * 0,9 = 2,7,
D = 3 * 0,9 * (1-0,9) = 0,27.

Таким образом, математическое ожидание числа правильно решенных задач в билете равно 2,7, а дисперсия равна 0,27.

2) Дано: вероятность поражения земляники вирусным заболеванием (P(X=1)) = 0,2, вероятность непоражения земляники вирусным заболеванием (P(X=0)) = 1 - 0,2 = 0,8. Количество кустов земляники, зараженных вирусом (X), равно случайной величине, которую мы будем анализировать.

Мы также можем использовать биномиальное распределение для составления закона распределения числа зараженных кустов земляники. Пусть X - число зараженных кустов. Тогда закон распределения будет выглядеть следующим образом:

P(X=k) = С(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где С(n,k) - количество сочетаний из n по k, p - вероятность заражения вирусом (дано в задании), n - общее количество посаженных кустов земляники.

В нашем случае:
n = 4,
p = 0,2.

Таким образом, закон распределения будет следующим:

P(X=0) = С(4,0) * (0,2)^0 * (0,8)^4 = 1 * 1 * 0,4096 = 0,4096,
P(X=1) = С(4,1) * (0,2)^1 * (0,8)^3 = 4 * 0,2 * 0,512 = 0,4096,
P(X=2) = С(4,2) * (0,2)^2 * (0,8)^2 = 6 * 0,04 * 0,64 = 0,1536,
P(X=3) = С(4,3) * (0,2)^3 * (0,8)^1 = 4 * 0,008 * 0,8 = 0,0256,
P(X=4) = С(4,4) * (0,2)^4 * (0,8)^0 = 1 * 0,0016 * 1 = 0,0016.

Для вычисления математического ожидания и дисперсии воспользуемся теми же формулами:

M = n * p,
D = n * p * (1-p).

Переходим к подстановке значений:

M = 4 * 0,2 = 0,8,
D = 4 * 0,2 * (1-0,2) = 0,64.

Таким образом, математическое ожидание числа зараженных кустов земляники равно 0,8, а дисперсия равна 0,64.

3) Дано: количество ключей (n) = 6, подходящий ключ (X=1) = 1. Число попыток (X) при открывании замка - это случайная величина, которую мы будем анализировать.

Здесь мы можем использовать геометрическое распределение для составления закона распределения числа попыток при открывании замка. Пусть X - число попыток до открытия замка. Тогда закон распределения будет выглядеть следующим образом:

P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p,

где p - вероятность "успеха" (т.е. нахождение подходящего ключа) в одной попытке (дано в задании).

В нашем случае:
p = 1/6,
так как есть только один правильный ключ из шести.

Подставляем значения и получаем закон распределения:

P(X=1) = (1-1/6)^(1-1) * 1/6 = (5/6)^0 * 1/6 = 1 * 1/6 = 1/6,
P(X=2) = (1-1/6)^(2-1) * 1/6 = (5/6)^1 * 1/6 = 5/6 * 1/6 = 5/36,
P(X=3) = (1-1/6)^(3-1) * 1/6 = (5/6)^2 * 1/6 = 25/36 * 1/6 = 25/216,
P(X=4) = (1-1/6)^(4-1) * 1/6 = (5/6)^3 * 1/6 = 125/216 * 1/6 = 125/1296,
...
и так далее.

Чтобы вычислить математическое ожидание и дисперсию, вам понадобится другой подход. Математическое ожидание данной случайной величины равно обратной вероятности "успеха" в одной попытке, то есть:

M = 1/p = 1/(1/6) = 6.

Дисперсия можно вычислить по формуле:

D = (1-p) / p^2 = (1-1/6) / (1/6)^2 = (5/6) / (1/36) = 30.

Таким образом, математическое ожидание числа попыток при открывании замка равно 6, а дисперсия равна 30.

4) Дано: дисперсия случайной величины X (D(X)) = 4. Для случайной величины Y = -3X - 4 мы хотим найти ее дисперсию (D(Y)).

Для нахождения дисперсии Y = -3X - 4, мы можем использовать следующую формулу:

D(Y) = b^2 * D(X),

где b - коэффициент перед переменной (в данном случае -3), D(X) - дисперсия случайной величины X.

Подставляем значения:

D(Y) = (-3)^2 * 4 = 9 * 4 = 36.

Таким образом, дисперсия случайной величины Y равна 36.