Тема: «Векторы в система координат в Найдите:
|3b - a|-bc
если a{-3;2;1} ; b {2;-4;0} ; c{3;1;-4}.

2.В треугольнике ABC : A(1;1;5), B(-2;0;7), C (-3;-2;-5)

Найдите ∟ ABC

3. Построить треугольник ABC, если

A(-2;3;4)
B(0;-4;2)
C(3;2;-1)

Найдите :

1)P треугольника ABC
2) угол A
3) Одну любую медиану.

​

1. Найдем значение выражения |3b - a|-bc:
a = {-3;2;1}, b = {2;-4;0}, c = {3;1;-4}

Выражение |3b - a| означает модуль разности векторов 3b и a.

Вычислим 3b:
3b = 3{2;-4;0} = {6;-12;0}

Вычислим разность векторов 3b и a:
3b - a = {6;-12;0} - {-3;2;1} = {6 + 3; -12 - 2; 0 - 1} = {9;-14;-1}

Теперь вычислим модуль этого вектора:
|3b - a| = √(9^2 + (-14)^2 + (-1)^2) = √(81 + 196 + 1) = √278 = 16.67 (округляем до двух знаков после запятой)

Теперь найдем значение выражения |3b - a|-bc:
16.67 * |-bc| = 16.67 * |{2;-4;0}| = 16.67 * √(2^2 + (-4)^2 + 0^2) = 16.67 * √(4 + 16 + 0) = 16.67 * √20 = 16.67 * 4.47 = 74.55

Ответ: значение выражения |3b - a|-bc равно 74.55.

2. Определим угол ABC в треугольнике ABC:
A(1;1;5), B(-2;0;7), C(-3;-2;-5)

Для нахождения угла ABC воспользуемся формулой косинусов:

cos(∟ABC) = (AB · AC) / (||AB|| ||AC||)

AB = B - A = (-2 - 1; 0 - 1; 7 - 5) = (-3;-1;2)
AC = C - A = (-3 - 1; -2 - 1; -5 - 5) = (-4;-3;-10)

Вычислим скалярное произведение AB и AC:
AB · AC = (-3)(-4) + (-1)(-3) + (2)(-10) = 12 + 3 - 20 = -5

Вычислим длины векторов AB и AC:
||AB|| = √((-3)^2 + (-1)^2 + 2^2) = √(9 + 1 + 4) = √14
||AC|| = √((-4)^2 + (-3)^2 + (-10)^2) = √(16 + 9 + 100) = √125 = 11.18 (округляем до двух знаков после запятой)

Подставим полученные значения в формулу косинусов:
cos(∟ABC) = (-5) / (√14 * 11.18) ≈ -0.079

Угол ABC можно найти, применив обратную функцию косинуса:
∟ABC ≈ arccos(-0.079) ≈ 91.22°

Ответ: ∟ABC ≈ 91.22°.

3. Построим треугольник ABC:

A(-2;3;4), B(0;-4;2), C(3;2;-1)

Для построения треугольника на координатной плоскости, используем оси x, y и z.
Рисуем точки A, B и C в соответствующих координатах.

1) Для нахождения P треугольника ABC, найдем длины сторон треугольника.

AB = √((-2 - 0)^2 + (3 - (-4))^2 + (4 - 2)^2) = √(4 + 49 + 4) = √57 ≈ 7.55 (округляем до двух знаков после запятой)
BC = √((0 - 3)^2 + (-4 - 2)^2 + (2 - (-1))^2) = √(9 + 36 + 9) = √54 ≈ 7.35 (округляем до двух знаков после запятой)
AC = √((-2 - 3)^2 + (3 - 2)^2 + (4 - (-1))^2) = √(25 + 1 + 25) = √51 ≈ 7.14 (округляем до двух знаков после запятой)

P треугольника ABC = AB + BC + AC ≈ 7.55 + 7.35 + 7.14 ≈ 22.04

Ответ: P треугольника ABC ≈ 22.04.

2) Угол A можно найти, используя координаты точек A, B и C.

Вектор AB = B - A = (0 - (-2); -4 - 3; 2 - 4) = (2; -7; -2)
Вектор AC = C - A = (3 - (-2); 2 - 3; -1 - 4) = (5; -1; -5)

Для вычисления угла между векторами AB и AC воспользуемся формулой косинусов:

cos(∟A) = (AB · AC) / (||AB|| ||AC||)

AB = √(2^2 + (-7)^2 + (-2)^2) = √(4 + 49 + 4) = √57 ≈ 7.55 (округляем до двух знаков после запятой)
AC = √(5^2 + (-1)^2 + (-5)^2) = √(25 + 1 + 25) = √51 ≈ 7.14 (округляем до двух знаков после запятой)

AB · AC = (2)(5) + (-7)(-1) + (-2)(-5) = 10 + 7 + 10 = 27

Подставим полученные значения в формулу косинусов:
cos(∟A) = 27 / (7.55 * 7.14) ≈ 0.53

Угол A можно найти, применив обратную функцию косинуса:
∟A ≈ arccos(0.53) ≈ 58.97°

Ответ: ∟A ≈ 58.97°.

3) Любую медиану треугольника можно найти, найдя середину одной из его сторон.

Для примера найдем середину стороны AC.

Середина стороны AC будет иметь координаты, равные среднему арифметическому координат точек A и C:

Середина AC = ((-2 + 3) / 2; (3 + 2) / 2; (4 + -1) / 2) = (0.5; 2.5; 1.5)

Таким образом, середина стороны AC имеет координаты (0.5; 2.5; 1.5).

Ответ: Одна из медиан треугольника ABC будет проходить через точку с координатами (0.5; 2.5; 1.5).