Существует ли число, которое при делении на 60 даёт в остатке 61?

Не существует.

Пошаговое объяснение:

Существует ли число, которое при делении на 60 даёт в остатке 61?

Нет. остаток всегда меньше делителя.  В данном случае делитель 60, а остаток 61

61>60

При делении на 60 остаток может (должен) быть меньше или равен 59.