Составить уравнение касательной к параболе y=x^2+6x-5 в точке с абсциссой x0=4

Касательная к параболе является прямой, которая касается параболы в одной точке и имеет с ней общую касательную.

Для того чтобы составить уравнение касательной, мы должны найти коэффициенты прямой (a и b) в уравнении y = ax + b.

Для начала найдем производную параболы, чтобы определить наклон касательной к параболе в заданной точке x0=4.

Производная параболы y = x^2 + 6x - 5 вычисляется с помощью правила дифференцирования сложной функции. Применяя это правило, получим:

y' = 2x + 6

Теперь подставим x0=4 в полученное выражение и найдем значение производной в точке x0:

y'(4) = 2*4 + 6 = 8 + 6 = 14

Таким образом, мы узнали, что наклон касательной в точке x0=4 равен 14.

Теперь воспользуемся формулой уравнения прямой, чтобы найти коэффициенты a и b.

y = ax + b

Мы уже знаем, что коэффициент a равен 14, поскольку это наклон касательной.

Чтобы найти коэффициент b, подставим в уравнение координаты точки, в которой касательная касается параболы. В данном случае это точка с абсциссой x0=4.

x = 4, y = x^2 + 6x - 5

Подставляем эти значения в уравнение прямой:

y = 14x + b

x^2 + 6x - 5 = 14x + b

Теперь найдем значение b, решив полученное уравнение:

x^2 + 6x - 5 - 14x = b

Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:

x^2 - 8x - 5 = b

Таким образом, мы получили уравнение касательной к параболе y = x^2 + 6x - 5 в точке с абсциссой x0=4:

y = 14x + (x^2 - 8x - 5)