Сколько существует различных семизначных чисел состоящих из цифр 1, 3,5 в которых цифра 1 повторяется- 2 раза ,цифра 3 - 3 раза, цифра 5 - 2 раза?

Для решения данной задачи воспользуемся формулой комбинаторики "перестановка с повторениями".

В данном случае, у нас есть 7 позиций для цифр, и мы должны выбрать, какую цифру поместить на каждую позицию. Но так как некоторые цифры повторяются, нам нужно рассмотреть повторения.

Для цифры 1, мы знаем, что она повторяется 2 раза. Это означает, что мы можем выбрать 2 позиции из 7 возможных для размещения цифры 1. Это обозначается с помощью сочетания. Формула сочетания в комбинаторике выглядит следующим образом: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) , где n - общее количество элементов, k - количество выбираемых элементов. В нашем случае, n=7 и k=2, поэтому получаем: C(7, 2) = 7! / (2! * (7-2)!) = 7! / (2! * 5!) = (7 * 6) / 2 = 21.

Аналогично, для цифры 3, мы знаем, что она повторяется 3 раза. Так что мы выбираем 3 позиции из оставшихся 5 возможных, используя формулу сочетания: C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10.

Также, для цифры 5, мы знаем, что она повторяется 2 раза. Так что мы выбираем 2 позиции из оставшихся 2 возможных, используя формулу сочетания: C(2, 2) = 2! / (2! * (2-2)!) = 1.

Наконец, для получения общего количества различных семизначных чисел, мы должны перемножить количество вариантов для каждой цифры: 21 * 10 * 1 = 210.

Итак, существует 210 различных семизначных чисел, состоящих из цифр 1, 3, и 5, где цифра 1 повторяется 2 раза, цифра 3 повторяется 3 раза, и цифра 5 повторяется 2 раза.