Системы линейных уравнений Методом Гаусса.​

Даётся 2 варианта решения задания б).

Остальные решить самому по аналогии.

Дана система уравнений в матричном виде. Решим его методом Гаусса.

■(2&-4&[email protected]&3&[email protected]&9&-9)    ■([email protected]@5)

1-ую строку делим на 2

■(1&-2&4,[email protected]&3&[email protected]&9&-9)    ■([email protected]@5)

от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 7; от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 7

■(1&-2&4,[email protected]&17&-37,[email protected]&23&-40,5)    ■([email protected]@-93)

2-ую строку делим на 17

■(1&-2&4,[email protected]&1&-75/[email protected]&23&-40,5)    ■([email protected]/[email protected])

к 1 строке добавляем 2 строку, умноженную на 2; от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 23

■(1&0&3/[email protected]&1&-75/[email protected]&0&147/17)    ■(40/[email protected]/[email protected]/17)

3-ую строку делим на 174/17

■(1&0&3/[email protected]&1&-75/[email protected]&0&1)    ■(40/[email protected]/[email protected])

от 1 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 3/34; к 2 строке добавляем 3 строку, умноженную на 75/34

■(1&0&[email protected]&1&[email protected]&0&1)    ■([email protected]@4)

x = 2y = 3z = 4

Сделаем проверку. Подставим полученное решение в уравнения из системы и выполним вычисления:

2•2 - 4•3 + 9•4 = 4 - 12 + 36 = 28

7•2 + 3•3 - 6•4 = 14 + 9 - 24 = -1

7•2 + 9•3 - 9•4 = 14 + 27 - 36 = 5

Проверка выполнена успешно.

x = 2

y = 3

z = 4

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

2 -4 9         28

7 3 -6       -1

7 9 -9       5

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

7 3 -6       -1

7 9 -9        5

2 -4 9         28

Работаем со столбцом №1

Умножим 2-ю строку на (k = -2 / 7) и добавим к 3-й:

7      3            -6       -1

7     9           -9        5

0 -46/7 81/7       186/7

Умножим 1-ю строку на (k = -7 / 7 = -1) и добавим к 2-й:

7       3   -6          -1

0       6   -3         6

0   -46/7   81/7 186/7

Работаем со столбцом №2

Умножим 2-ю строку на (k = 46/7 / 6 = 23/21) и добавим к 3-й:

7       3   -6               -1

0        6   -3                6

0       0   58/7         232/7

Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:

1 3/7 -6/7     -1/7

0 1 -1/2        1

0 0 1           4

Теперь исходную систему можно записать как:

x1 = -1/7 - (3/7x2 - 6/7x3)

x2 = 1 - ( - 1/2x3)

x3 = 4

Из 3-ой строки выражаем x3

x3 = 4

Из 2-ой строки выражаем x2

x2 = 1 - (-1/2)*4 = 3

Из 1-ой строки выражаем x1

x1 = -1/7 - 3/7*3 - (-6/7)*4 = 2 .

Так как форматирование матриц плохо отражено, оригинал решения можно посмотреть во вложении.