Математика: Решить диф. уравнение: x^3*y +x^2*y-y^2=2x^4

Уравнение Риккати. Разделим на Ищем частное решение. Пусть , подставляем в уравнение:Что ж мы получили частное решение, теперь нужно найти общее:Снова подставляем в уравнение:Разделим на обе части:Пусть: , тогда Итоговое уравнение после подстановки:Домножим на x По правилам дифференцирования произведения производных (uv) = u v + v u, но у нас тут вместо штрихов дифференциалы. Получаем:ИТОГОВАЯ ФУНКЦИЯ:...

Решить диф. уравнение: x^3y'+x^2y-y^2=2x^4

Ответы

РафикЖирафик 06.10.2020 20:26

Уравнение Риккати.
x^3y'+x^2y-y^2=2x^4

Разделим на x^3

$y' + \frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^3} = 2x$
Ищем частное решение. Пусть y_1 = cx^2

, подставляем в уравнение:
$(cx^2)' + \frac{cx^2}{x} + \frac{(cx^2)^2}{x^3} = 2x$
2cx + cx - c^2x - 2x = 0

$\sqrt{D} =1$
c_1 = 1

Что ж мы получили частное решение, теперь нужно найти общее:
y = y_1 + v = x^2 + v

Снова подставляем в уравнение:
$(x^2 + v)' + \frac{x^2 + v}{x} - \frac{(x^2 + v)^2}{x^3} = 2x$
$2x+ v' + x+ \frac{v}{x} - x - \frac{2v}{x} - \frac{v^2}{x^3} = 0$
$v' - \frac{v}{x} = \frac{u^2}{x^3}$
$\frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = \frac{v^2}{x^3}$
Разделим на v^2

обе части:
$\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dx} - \frac{1}{vx} = \frac{1}{x^3}$
Пусть: $g = \frac{1}{v}$ , тогда $g' = \frac{v'}{v^2}$
Итоговое уравнение после подстановки:
$g' + \frac{g}{x} = - \frac{1}{x^3}$
Домножим на x
$x\frac{dg}{dx} + g = - \frac{1}{x^2} 
$
$\frac{d}{dx}(xdg) + \frac{d}{dx}(gdx) = - \frac{1}{x^2}$
По правилам дифференцирования произведения производных (uv)' = u'v + v'u, но у нас тут вместо штрихов дифференциалы. Получаем:
$\frac{d}{dx} (x*g) = - \frac{1}{x^2}$
$\int \frac{d}{dx}xg = \int - \frac{1}{x^2} dx$
$xg = \frac{1}{x} + C$
$g = \frac{1}{v} = \frac{1+ Cx}{x^2} }$
$v = \frac{x^2}{1+ Cx} }$
ИТОГОВАЯ ФУНКЦИЯ:
$y = y_1 + v = x^2 + \frac{x^2}{1+ Cx} } = \frac{x^2+ x^2 + Cx^3}{1+ Cx} } = \frac{2x^2 + Cx^3}{1+ Cx} }$