решить 3log⁡(2)3x−13log⁡(3x)+4=0

Для решения данного уравнения, воспользуемся заменой переменной. Пусть u=log⁡(3x), тогда уравнение принимает вид:

3log⁡(2)(u-1)-3u+4=0.

Далее, заметим, что 3log⁡(2)(u-1) эквивалентно log⁡(2)(u-1) в качестве основы степени так как коэффициент 3 можно внести внутрь логарифма:

log⁡(2)(u-1)^3-3u+4=0.

Теперь воспользуемся свойством логарифма и избавимся от логарифма в уравнении. Основание логарифма 2 в 1 степени, которое находится внутри логарифма 2, эквивалентно просто числу 2:

(u-1)^3=2^3.

Выполним возведение в степень:

(u-1)^3=8.

Теперь найдем корни этого кубического уравнения. Заметим, что одним из корней будет u=2, так как (2-1)^3=8. Для нахождения остальных корней, воспользуемся факторизацией 8:

(u-1)(u^2+u+1)=8.

Сначала рассмотрим уравнение u-1=8, получаем u=9.

Далее, рассмотрим уравнение u^2+u+1=8. Перенесем все слагаемые в одну сторону и решим квадратное уравнение:

u^2+u+1-8=0,

u^2+u-7=0.

Решим данное квадратное уравнение, используя дискриминант:

D = 1^2-4*1*(-7) = 29.

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:

u = (-1+sqrt(29))/2 и u = (-1-sqrt(29))/2.

Таким образом, у нас получается три корня нашего исходного уравнения: u=2, u=9, u = (-1+sqrt(29))/2 и u = (-1-sqrt(29))/2.

Осталось подставить найденные значения u обратно в исходное выражение и решить его относительно x.

Для случая u=2:

log⁡(3x)=2,

3x=2^3 = 8,

x=8/3.

Для случая u=9:

log⁡(3x)=9,

3x=3^9 = 19683,

x=19683/3.

Для случаев u = (-1+sqrt(29))/2 и u = (-1-sqrt(29))/2:

Подставляем значения u в выражение log⁡(3x) и решаем его относительно x.

Таким образом, решение уравнения 3log⁡(2)3x−13log⁡(3x)+4=0 состоит из 4 чисел: x=8/3, x=19683/3, x=(1+sqrt(29))/2 и x=(1-sqrt(29))/2.