При яких значеннях a рівняння (a-1)x=a^3-1 має тільки один додатній корінь?

(a-1)x = a³ - 1

(a-1)x = (a-1)(a²+a+1)

Если a - 1 = 0 откуда a = 1 то уравнение имеет бесконечно много корней. Теперь пусть a ≠ -1, то данное уравнение можно переписать так

x = a² + a + 1

Уравнение имеет положительный корень, если a² + a + 1 > 0

А это неравенство верно для всех действительных a.

ответ: при a ∈ (-∞;1)∪(1;+∞).