При каких значениях параметра p уравнение
(p-1)x^2 + (p-1)x - 1=0 имеет один корень?

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.

У нас дано квадратное уравнение (p-1)x^2 + (p-1)x - 1=0.

Шаг 1: Проверим условие для одного корня.

Уравнение имеет один корень, если дискриминант равен нулю. Дискриминант можно вычислить по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения.

В нашем случае a = p-1, b = p-1 и c = -1.

Подставим значения в формулу дискриминанта: D = (p-1)^2 - 4(p-1)(-1).

Шаг 2: Упростим выражение.

Раскроем квадрат и упростим полученное выражение: D = (p^2 - 2p + 1) - 4(-(p-1)).

Упростим выражение в скобках: D = p^2 - 2p + 1 + 4p - 4.

Сгруппируем похожие члены: D = p^2 + 2p - 3.

Шаг 3: Найдем значения параметра p, при которых D = 0.

Для того чтобы уравнение имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю.

Подставим D = 0: p^2 + 2p - 3 = 0.

Шаг 4: Решим полученное квадратное уравнение.

Мы можем решить это уравнение факторизацией, использованием квадратного трёхчлена или применением формулы дискриминанта.

Для простоты решим его с помощью квадратного трёхчлена. Для этого найдем такое число, которое при возведении в квадрат даст 3, а при умножении на 2 и сложении с самим собой даст 2.

Такое число это 1. Итак, p = -1.

Ответ: Уравнение имеет один корень при p = -1.