Предприятие выпускает два вида продукции А1 и А2, используя при этом три вида сырья В1, В2 и В3. Известны запасы сырья равные b1, b2 и b3
соответственно. Расход сырья вида Вi на производство единицы продукции Aj
равен ai,j. Доход от реализации единицы продукции Aj составляет cj условных
единиц. Требуется составить такой план производства продукции, при
котором доход будет максимальным.
Составить стандартную модель данной задачи и решить ее
графическим методом. Составить двойственную задачу и с теорем
двойственности показать, что найденные оптимальные решения прямой и
двойственной задачи совпадают.

Прежде чем приступить к составлению модели и графическому решению задачи, давайте разберемся с ее условием.

У нас есть предприятие, которое выпускает два вида продукции - А1 и А2. При этом для производства используется три вида сырья - В1, В2 и В3. У нас также есть информация о запасах каждого вида сырья (b1, b2, b3).

Известно, что для производства единицы продукции Аj необходимо ресурсов сырья Вi в количество ai,j. В то же время, за каждую единицу продукции Aj предприятие получает доход cj.

Наша задача состоит в том, чтобы составить план производства продукции таким образом, чтобы доход был максимальным.

Для решения этой задачи мы можем использовать метод линейного программирования и графический метод.

Стандартная модель задачи линейного программирования имеет вид:

Максимизировать сумму cj*xj (где j=1, 2) - это функция цели.

При условии ограничений на использование сырья:

ai,1*x1 + ai,2*x2 ≤ bi (где i=1, 2, 3) - это ограничения использования сырья.

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 - это ограничения неотрицательности переменных.

Теперь давайте решим данную задачу графическим методом. Для этого нам необходимо построить график ограничений и найти точку максимального значения.

Обработку данных и построение графика можно выполнить следующим образом:

1. Вводим значения ai, j (расход сырья на производство единицы продукции), cj (доход от реализации единицы продукции) и bi (запас сырья) в соответствующие ячейки.
2. Рассчитываем коэффициенты в ограничениях использования сырья. Для каждой строки i они будут равны ai,1/ai,2.
3. Построение графика ограничений:
a) Для каждого ограничения ai,1*x1 + ai,2*x2 ≤ bi находим две точки (0, bi/ai,2) и (bi/ai,1, 0) и соединяем их прямой. Это границы, которые задают условия использования сырья.
б) Продолжаем построение прямых для всех ограничений и определяем область допустимых значений, ограниченную этими прямыми.
4. Находим точку пересечения границ области допустимых значений и линии доходов, которая соответствует максимальной прибыли. Эта точка является оптимальным решением задачи.

Далее нам нужно составить двойственную задачу и показать, что оптимальные решения двух задач совпадают согласно теореме двойственности.

Двойственная задача будет иметь вид:

Минимизировать сумму bi*yi (где i=1, 2, 3) - это функция цели.

При условии ограничений на расход сырья:

ai,1*y1 + ai,2*y2 ≥ cj (где j=1, 2) - это ограничения использования ресурсов.

yi ≥ 0 - это ограничения неотрицательности переменных.

Для доказательства теоремы двойственности нужно показать, что найденные оптимальные решения прямой и двойственной задачи совпадают. Это можно проделать, рассчитав значения переменных x и y в обоих задачах и приравняв их к найденным оптимальным значениям.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять условие задачи и процесс ее решения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!