Почему НОД(u² + v², uv) = 1
При условии что u и v взаимно простые?

Пусть НОД(u²+v²,uv)>1, и p - общий простой делитель этих выражений. Поскольку u и v взаимно простые, у них нет общих делителей (кроме 1), поэтому p - делитель одного из них, но не делитель другого. Пусть, для определенности, u делится на p, а  v не делится на p. Поскольку

u²+v² делится на p и u (а тогда и u²) делится на p, то и их разность

(u²+v²)-u²=v² делится на p, а поскольку p простое число, v  также делится на p.  Полученное противоречие доказывает утверждение.