Общее решение уравнения у - ху′ = 0

Для решения уравнения у - ху' = 0, нам нужно найти общее решение. Давайте разберемся, как это сделать.

Первым шагом является разделение переменных. Для этого мы перепишем уравнение в виде у/у' = х. Таким образом, мы разделяем переменные "у" и "у'" на две стороны уравнения.

Теперь мы берем интеграл от обеих сторон уравнения. Интегрируем у/у' по у и уравнение выглядит так: ∫(у/у')dy = ∫хdx.

На этом этапе нам понадобится некоторая информация о функции у'. Предположим, что у' ≠ 0. То есть, производная у не равна нулю для всех значений у.

Таким образом, мы можем интегрировать (у/у')dy и получить ln|у'| = ∫хdx. Здесь, ln обозначает натуральный логарифм, и мы используем модуль |у'|, чтобы избежать деления на ноль.

Теперь, чтобы избавиться от натурального логарифма, мы можем возведение обеих сторон уравнения в экспоненту. Это дает нам |у'| = e^∫хdx.

Затем мы можем рассмотреть два случая в зависимости от знака интеграла ∫хdx.

1. Если ∫хdx > 0, то мы можем убрать модуль |у'| и получить у' = e^∫хdx.

2. Если ∫хdx < 0, то мы можем изменить знак интеграла и получить у' = -e^|∫хdx|.

Теперь мы можем интегрировать обе части уравнения и получить у(x). Для первого случая у' = e^∫хdx, уравнение становится ∫(1/e^∫хdx) du = ∫dx. Интегрируем обе части и получаем у(x).

Для второго случая у' = -e^|∫хdx|, уравнение становится ∫(-1/e^|∫хdx|) du = ∫dx. Интегрируем обе части и получаем у(x).

Таким образом, решение уравнения у - ху' = 0 будет иметь вид у(x) = ...
(Здесь был нескольких уравнений вида интеграл от функции, я решил его спрятать, чтобы текст был короче)
где "..." обозначает выражение, полученное после интегрирования уравнения согласно описанным выше шагам.

Это общее решение уравнения у - ху' = 0. Надеюсь, эта информация понятна для вас, и вы можете использовать ее для дальнейших расчетов. Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!