Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции
а) y=x^4-2x^2-3

б) y=7-x2x^2

Даны функции:

1) y=x^5-x^2+8,

2) y=x^3/3+2x^2-5x+4,

3) y=-5x^3+6x^2-3.

Находим производную и приравниваем нулю.

1) y=x^5-x^2+8.

   y' = 5x^4 -2x = 0.

   x(5x^3 -2) = 0.

Имеем 2 критические точки: х = 0  и  х = ∛(2/5)  и  3 промежутка монотонности функции (-∞; 0), (0; ∛(2/5)) и (∛(2/5); +∞).

На промежутках находим знаки производной.  Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x =   -1         0          0,5        0,736806        1

y' =   7         0      -0,6875            0              3.

Как видим, есть 2 промежутка возрастания функции (-∞; 0) и (∛(2/5); +∞) и один убывания (0; ∛(2/5)).

В точке х = 0 максимум функции, в точке х = ∛(2/5) минимум.

2) y=x^3/3+2x^2-5x+4.

   y' = (3x²/3)+ 4x - 5 = 0.

   x² + 4x - 5 = 0.

   Квадратное уравнение, решаем относительно x:  

Ищем дискриминант:D=4^2-4*1*(-5)=16-4*(-5)=16-(-4*5)=16-(-20)=16+20=36;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(2root36-4)/(2*1)=(6-4)/2=2/2=1;x_2=(-2root36-4)/(2*1)=(-6-4)/2=-10/2=-5.

x =   -6      -5      0      1       2

y' =    7      0     -5       0       7.

Как видим, есть 2 промежутка возрастания функции (-∞; -5) и (1; +∞) и один убывания (-5; 1).

В точке х = -5 максимум функции, в точке х = 1 минимум.

3) y=-5x^3+6x^2-3.

   y' = -15x² + 12x = 0.

   -3x(5x - 4) = 0.

Получаем 2 критические точки: х = 0  и  х = 4/5.

x =    -1         0       0,5       0,8      1

y' =  -27        0       2,25        0      -3.

Как видим, есть 2 промежутка убывания функции (-∞; 0) и ((4/5); +∞) и один возрастания (0; (4/5)).

В точке х = 4/5 максимум функции, в точке х = 0 минимум.

Пошаговое объяснение: