Найти производную функции y=e^arctg (x-1/x+1)

варианты ответов на втором скриншоте:

Для нахождения производной функции y=e^arctan(x-1/x+1), мы воспользуемся формулой для производной композиции функций.

Данная задача относится к классу задач на нахождение производной сложной функции. Для ее решения воспользуемся формулой производной сложной функции.

Формула производной сложной функции: Если у нас есть функция z = f(g(x)), то производная этой функции равна произведению производной внешней функции f'(u) и производной внутренней функции g'(x). То есть z' = f'(u) * g'(x).

Для данной функции сначала найдем производные внешней и внутренней функций, а затем применим формулу производной сложной функции.

Вспомним производную функции y=e^x, которая равна производной базовой экспоненты e^x, то есть производная e^x равна ей самой. Теперь посмотрим на внутреннюю функцию arctan(x-1/x+1).

Для нахождения производной функции y=arctan(x-1/x+1) применим формулу производной функции арктангенса. Формула производной функции арктангенса выглядит следующим образом: производная arctan(u)' = 1/(1+u^2).

В данной функции аргументом арктангенса является (x-1)/(x+1). Заменим аргумент u и получим производную внутренней функции. Чтобы сделать это, проверьте, что мы достигаем корректных результатов. Применим формулу производной `{(x^n)}' = n*x^(n-1)`, а также применим правило сложения/вычитания и правило дифференцирования функций с дробными степенями.

Теперь, когда у нас есть значения производных для внешней и внутренней функций, мы можем применить формулу производной сложной функции, чтобы найти производную исходной функции y=e^(arctan(x-1/x+1)).

Логично, что: f(u) = e^u, а g(x) = arctan((x-1)/(x+1)). Тогда, согласно формуле производной сложной функции:

y' = f'(u) * g'(x).

Выразим f'(u) и g'(x) через u и x, соответственно, воспользовавшись полученными результатами.

f'(u) = e^u,
g'(x) = 1/(1+[(x-1)/(x+1)]^2).

Тогда, подставляя значения производных в формулу, получаем:

y' = e^u * 1/(1+[(x-1)/(x+1)]^2).

Теперь подставим значение аргумента u, которое мы заменили на `(x-1)/(x+1)`:

y' = e^[(x-1)/(x+1)] * 1/(1+[(x-1)/(x+1)]^2).

Таким образом, получили формулу для производной функции y=e^arctan(x-1/x+1):

y' = e^[(x-1)/(x+1)] * 1/(1+[(x-1)/(x+1)]^2).

Вот ответ на ваш вопрос.

Не забудьте проверить правильность решения самостоятельно, применив методы проверки производной.