№1. найти точки пересечения асимптот гиперболы х²-3у²=12 с окружностью,имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат. №2. гипербола проходит через точку м(6; 3√5/2),симметрична относительно осей координат и имеет вещественную полуось а=4. написать уравнения перпендикуляров ,опущенных из левого фокуса гиперболы на ее асимптоты. с подробным решением и объяснением ,! : )

Anasteisha130100 Anasteisha130100    3   03.07.2019 09:00    10

Ответы
taton92p08oqp taton92p08oqp  27.07.2020 11:28
1.
Уравнение гиперболы имеет стандартный вид: \cfrac{x^2}{a^2} - \cfrac{y^2}{b^2} =1, где а и b - полуоси гиперболы
x^2-3y^2=12 
\\\
 \cfrac{x^2}{12} - \cfrac{3y^2}{12} =1
\\\
 \cfrac{x^2}{12} - \cfrac{y^2}{4} =1
\\\
 \cfrac{x^2}{( \sqrt{12} )^2} - \cfrac{y^2}{2^2} =1
Значит, у гиперболы a= \sqrt{12} =2 \sqrt{3} ;\ b=2
Правый фокус гиперболы имеет вид F(c; 0), где c= \sqrt{a^2+b^2}
Находим с:
c= \sqrt{( \sqrt{12})^2+2^2 } =4
Так как окружность проходит через начало координат, то ее радиус равен абсциссе правого фокуса, то есть R=c=4
Общий вид уравнения окружности: (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2, где (x_0; \ y_0) - центр окружности, R - ее радиус
Уравнение окружности: (x-4)^2+y^2=16
Асимптоты гиперболы имеют вид: y=\pm \frac{b}{a} x
Тогда, асимптоты гиперболы y=\pm \frac{2}{2 \sqrt{3} } x=\pm\frac{ x }{\sqrt{3}}
Подставляем в уравнение окружности выражение для у:
(x-4)^2+( \frac{x}{ \sqrt{3} } )^2=16
\\\
x^2-8x+16+ \frac{x^2}{ 3} } =16
\\\
 \frac{4x^2}{ 3} }-8x =0
\\\
x^2-6x =0
\\\
x_1=0; \ x_2=6
Тогда у для соответствующих х равны:
 y_1= \frac{x_1}{ \sqrt{3} } =\frac{0}{ \sqrt{3} } =0 \\\ y_1'= -\frac{x_1}{ \sqrt{3} } =-\frac{0}{ \sqrt{3} } =0 \\\ y_2= \frac{x_2}{ \sqrt{3} } =\frac{6}{ \sqrt{3} } =2 \sqrt{3} 
\\\
y_2'= -\frac{x_2}{ \sqrt{3} } =-\frac{6}{ \sqrt{3} } =-2 \sqrt{3}
ответ: (0; \ 0); (6; \ 2 \sqrt{3} ) ; (6; \ -2 \sqrt{3} )

2.
Так как известна одна полуось и точка, принадлежащая гиперболе, о можно найти вторую полуось:
\cfrac{x^2}{a^2} - \cfrac{y^2}{b^2} =1
\\\
 \cfrac{6^2}{4^2} - \cfrac{(3 \sqrt{5}) ^2}{2^2\cdot b^2} =1
\\\
 \cfrac{36}{16} - \cfrac{45}{4\cdot b^2} =1
\\\
 \cfrac{45}{4\cdot b^2} = \cfrac{36}{16}-1
\\\
 \cfrac{45}{4\cdot b^2} = \cfrac{20}{16}
\\\
 \cfrac{9}{b^2} = \cfrac{4}{4}
\\\
b^2=9; \ b=3
Тогда уравнения асимптот принимают вид: y=\pm \frac{3}{4} x
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой является обратным и противоположным числом к угловому коэффициенту исходной прямой: k_2=- \cfrac{1}{k_1}
Тогда, для прямой y=\frac{3}{4}x таким коэффициентом является число - \frac{4}{3}, а для прямой y=-\frac{3}{4}x - число \frac{4}{3}
Левый фокус гиперболы имеет вид F(-c; 0), где c= \sqrt{a^2+b^2}
c=\sqrt{4^2+3^2} =5, следовательно через точку (-5; 0) нужно провести искомые прямые
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (x_0; \ y_0) с заданным угловым коэффициентом k имеет вид: y-y_0=k(x-x_0)
Тогда:
y-0=\pm \frac{4}{3} (x-(-5))
\\\
y=\pm \frac{4}{3} (x+5)
Или по отдельности:
y_1=\frac{4}{3} (x+5)=\frac{4}{3} x+ \frac{20}{3} 
\\\
y_2=-\frac{4}{3} (x+5)=-\frac{4}{3} x- \frac{20}{3}

№1. найти точки пересечения асимптот гиперболы х²-3у²=12 с окружностью,имеющей центр в правом фокусе
№1. найти точки пересечения асимптот гиперболы х²-3у²=12 с окружностью,имеющей центр в правом фокусе
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика